タグ付けされた質問 「lower-bounds」

関数の下限、通常はアルゴリズムの複雑さまたは問題に関する質問

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行列式と永続の下限
深さ3での最近のキャズムの結果（特に、上の行列式に対する深さ3演算回路を生成します）、次の質問があります：グリゴリエフとカルピンスキーは、有限体上の行列の行列式を計算する深さ3算術回路の下限を証明しました（これは推測しますが、恒久的にも保持されます）。パーサーを計算するためのライザーの式は、サイズ深さ3の算術回路を与えます、N×NC2Ω（N）のN×NO（N22N）=2O（N）2n√ログn2nlog⁡n2^{\sqrt{n}\log{n}}n × nn×nn \times n CC\mathbb{C}2Ω （n ）2Ω(n)2^{\Omega{(n)}}n×nn×nn \times nO(n22n)=2O(n)O(n22n)=2O(n)O(n^2 2^n) = 2^{O(n)}。これは、結果が本質的に有限フィールド上のパーマネントの深さ3回路に対して厳密であることを示しています。2つの質問があります。 1）パーサーのRyserの式に類似した行列式の深さ3の式はありますか？ 2）決定多項式\ textit {always}を計算する算術回路のサイズの下限は、恒久多項式の下限になりますか？（それらは同じ多項式です）。F2F2\mathbb{F}_2 私の質問は現在、有限体上のこれらの多項式に関するものですが、任意の体上のこれらの質問の状態も知りたいです。
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プロトコルのパーティション番号と確定的な通信の複雑さ
ほかに（決定的）通信複雑 関係の、必要な通信量の別の基本的な尺度であるプロトコルパーティション数。これら2つの測定値の関係は、一定の係数まで知られています。Kushilevitz and Nisan（1997）によるモノグラフは、Rc c （R ）cc（R）cc(R)RRR p p （R ）pp（R）pp(R) C C （R ）/ 3 ≤ ログ2（P P （R ））≤ C C （R ）。cc（R）/3≤ログ2⁡（pp（R））≤cc（R）。cc(R)/3 \le \log_2(pp(R)) \le cc(R). 2番目の不等式に関しては、関係（の無限族）を与えるのは簡単です。log 2（p p （R ））= c c （R ）RRRログ2（p p （R ））= c c （R ）ログ2⁡（pp（R））=cc（R）\log_2(pp(R)) = cc(R) 最初の不等式に関して、Doerr（1999）は、最初の境界の係数を置き換えることができることを示し。仮にあったとしても、最初の限界をどれだけ改善できますか？ c = …
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下限を生成するMulmuley-Sohoniの幾何学的アプローチは、（Razborov-Rudichの意味で）自然な証明の生成をどのように回避しますか？
タイトルの正確な表現は、Anand Kulkarni（このサイトの作成を提案した人）によるものです。この質問は質問の例として尋ねられましたが、私は非常に興味があります。私は代数幾何学についてほとんど知らず、実際にはP / poly対NPの質問で遊びにある障害について大雑把な学部生の理解しかありません。 代数幾何学がこれらの種類の障害を回避できるように見えるのはなぜですか？フィールドエキスパートの直観だけなのか、それとも以前のアプローチよりも根本的に強力なアプローチであると信じるに十分な理由があるのでしょうか。このアプローチはどのような弱い結果を達成できましたか？
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深さ5未満で追加を実行できますか？
キャリールックを使用して先に我々は多項式サイズ深さ5（または4？）を使用して、追加を計算することができ、アルゴリズムAC0AC0AC^0回路ファミリを。深さを減らすことは可能ですか？キャリールックアヘッドアルゴリズムによって得られる深さよりも小さい多項式サイズの回路ファミリを使用して、2つの2進数の加算を計算できますか？ dが2または3 である場合、加算を計算AC0dACd0AC^0_d回路ファミリのサイズの超多項式下限はありますか？ddd 深さとは、交互の深さを意味します。
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回路の下限に関するリファレンス
前文 インタラクティブ証明システムとArthur-Merlinプロトコルは、1985年にGoldwasser、Micali、Rackoff、およびBabaiによって導入されました。最初は、前者は後者よりも強力であると考えられていましたが、GoldwasserとSipserは、言語認識に関して）。したがって、この投稿では、2つの概念を同じ意味で使用します。 してみましょうとの対話型証明系認める言語のクラスであるラウンドを。Babaiはことを証明しました。（相対化可能な結果。）K I P [ O （1 ）] ⊆ Π P 2IP[k]IP[k]IP[k]kkkIP[O(1)]⊆ΠP2IP[O(1)]⊆Π2PIP[O(1)] \subseteq \Pi_2^P 最初は、無制限のラウンド数でIPの能力を高めることができるかどうかはわかりませんでした。特に、相反する相対化があることが示されました。FortnowとSipserは、一部の神託、保持ことを示しまし。（したがって、Aに関連して、IP [poly]はPHのスーパークラスではありません。）AAAcoNPA⊄IP[poly]AcoNPA⊄IP[poly]AcoNP^A \not\subset IP[poly]^AI P [ p o l y ] P HAAAIP[poly]IP[poly]IP[poly]PHPHPH 一方、次の論文： Aiello, W., Goldwasser, S., and Hastad, J. 1986. On the power of interaction. In Proceedings of the 27th Annual Symposium on …
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一定の深さの式の下限？
（多項式サイズ）一定の深さの回路の制限について多くのことを知っています。（多項式サイズ）定数の深さの式は計算のさらに制限されたモデルであるため、AC 0にないことが知られているすべての問題も定数の深さの式で計算できません。ただし、これは簡単なモデルであるため、このモデルでは計算できないことがわかっている問題がさらに多いと推測しています。これは研究されましたか？（私はそれがあったと推測していますが、私はおそらく正しい検索用語を使用していないでしょう。） 具体的には、次の質問に興味があります：サイズSのAC 0回路で計算できる関数fがありますが、Sで少なくとも2次、またはSで超多項式のサイズの定深度式が必要ですか？この種の最もよく知られている結果は何ですか？ 一定の深さの式が何を意味するのかが明確でない場合、ツリーとして書き出す（内部ノードがAND / OR / NOTゲートであり、葉が入力である）場合、このツリーは定数を持つ式を意味します高さ。同様に、一定の深さの式は、すべての非入力ゲートのファンアウトが1である一定の深さの回路です。
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複数のパスでst-connectivityのスペース使用量を削減しますか？
グラフ仮定と頂点のストリームとして提示されているエッジが、複数のパスがストリーム上許されます。n mGGGnnnmmm Monika Rauch Henzinger、Prabhakar Raghavan、およびSridar Rajagopalanは、データにパスが許可されている場合、 2つの与えられた頂点間にパスがあるかどうかを判断するためにスペースが必要であることを観察しました。（テクニカルレポートバージョンも参照してください。）ただし、実際にこの限界を達成するためのアルゴリズムは提供されていません。最適なアルゴリズムは、現実的なコンピューティングモデルで実際に空間を取ると仮定します。これは、一定サイズのポインターを使用してメモリのインデックスを作成できない場合、異なる頂点を区別する必要があるためです。G k O （（nΩ （n / k）Ω(n/k)\Omega(n/k)GGGkkknO （（nログn ）/ k ）O((nlogn)/k)O((n\, \log\, n)/k)nnn どのようにして、グラフの接続性を決定することができ使用して渡しO （（nはkkkスペース？O （（nログn ）/ k ）O((nlogn)/k)O((n\, \log\, n)/k) 1つのパスのみが許可されている場合、入力データは頂点のセットのパーティションとして保存でき、2つの異なるセットの頂点間にエッジが見られる場合はセットをマージできます。これには明らかにスペース。私の質問は k > 1についてです。必要なスペースを減らすために、どうすればより多くのパスを使用できますか？O（nログn ）O(nlogn)O(n\, \log\, n)k > 1k>1k > 1 （自明性を避けるために、は定数でアプリオリに制限できないパラメーターであり、スペースの制限はnとkの両方の関数を含む式です。）kkknnnkkk 更新：場合でも、n / 2頂点のみを保存する方法があると本当に便利です。または、kに関係なく、定数cに対して実際にはより強い下限c nがありますか？k = 2k=2k=2n / 2n/2n/2c ncncnccckkk
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Deolalikarの論文に対するGurvitsのテンソルランクの解釈を説明する
[注：この質問は、Deolalikarの論文の正確性または不正確性に左右されるものではないと考えています。] Scott AaronsonのブログShtetl Optimizedで、Deolalikarの最近のP対NPの試みに関する議論で、Leonid Gurvitsは次のコメントを行いました。 私はアプローチを理解/再定式化しようとしましたが、ここに私の、おそらく非常に最小限の試みがあります：論文の離散確率分布は、テンソルまたは非常に特殊な多重線形多項式と見なすことができます。「P = NP」という仮定は、どういうわけかテンソルランクの（多​​項式？）上限を与えます。そして最後に、既知の確率的結果を使用して、彼は同じランクの非一致（指数関数的）下限を取得します。私が正しい場合、このアプローチは、以前の代数幾何学的アプローチを推進するための非常に賢明な、良い意味で初歩的な方法です。 Deolalikarの証拠の疑わしい/既知の欠陥にもかかわらず、私は興味があります： Deolalikarの論文で議論された分布は、どのようにテンソルと見なされますか？また、彼の結果の記述（正確性に関係なく）は、テンソルランクに関する記述にどのように変換されますか？
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USTCONNが対数空間を必要とすることを証明する方法は？
USTCONNは、グラフGのソース頂点からターゲット頂点tへのパスがあるかどうかを決定する必要がある問題です。これらのパスはすべて入力の一部として与えられます。ssstttGGG Omer Reingoldは、USTCONNがLにあることを示しました（doi：10.1145 / 1391289.1391291）。この証明は、ジグザグ積によって一定次数のエキスパンダーを構築します。一定次数のエキスパンダーは直径が対数であり、一定数の対数サイズのマーカーを使用してすべての可能なパスを確認できます。 Reingoldの結果は、USTCONNの空間の複雑さの対数上限を与え、論文によると、その空間の複雑さを「一定の係数まで」解決します。論文のどこにも言及されていない、対応する下限に興味があります。 最悪の場合にUSTCONNを決定するには対数空間が必要であることをどのように証明しますか？ 編集：入力表現を修正して、基礎となるN頂点対称単純有向グラフの隣接行列とし、N 2ビット文字列を形成するために行を連続してリストします。N×NN×NN \times NNNNN2N2N^2 LewisとPapadimitriouは（doi：10.1016 / 0304-3975（82）90058-5）USTCONNはSL完全であり、Reingoldの結果ではSL = Lであることを示しました。：Savitchは（DOI示し10.1016 / S0022-0000（70）80006-Xのこと）。さらにDSPACE （F （N ））= DSPACE （1 ）任意の計算可能関数のためのF （N ）= O （ログログN ）NSPACE(n)⊆DSPACE(n2)NSPACE(n)⊆DSPACE(n2)\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)DSPACE(f(n))=DSPACE(1)DSPACE(f(n))=DSPACE(1)\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)f(n)=o(loglogn)f(n)=o(log⁡log⁡n)f(n) = o(\log\log n)Stearns、Hartmanis、およびLewis（doi：10.1109 / FOCS.1965.11）により、USTCONNには少なくともスペースが必要です。最後に、Lより下にあることが知られている通常のクラス（NC 1など）は、回路の観点から定義されており、空間限界の観点から定義されたクラスとは明らかに比較できません。Ω(loglogn)Ω(log⁡log⁡n)\Omega(\log\log n)NC1NC1\text{NC}^1 私が見る限り、これにより、いくつかのδ < 1に対して、がΩ （log log n ）空間のみを使用するさらに優れた決定論的アルゴリズムが存在する可能性がありますまたはUSTCONNに対しても非決定性アルゴリズムを使用することO （（ログN ）1 / …
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確定的な通信の複雑さとパーティション番号
バックグラウンド： アリスとボブが与えられた通信の複雑さの通常の二者モデル検討ビットストリングX及びYが、いくつかのブール関数を計算する必要があり、F （X 、Y ）、F ：{ 0 、1 } N × { 0 、1 } のn → { 0 、1 }。nnnバツxxyyyf（x 、y）f(x,y)f(x,y)f：{ 0 、1 }n× { 0 、1 }n→ { 0 、1 }f:{0,1}n×{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\} 次の数量を定義します。 （の確定的通信の複雑 F）：アリスとボブの必要性が計算するために通信することビットの最小数 F （X 、Y ）確定。D （f）D(f)D(f)ffff（x 、y）f(x,y)f(x,y) （のパーティション番号 F）のパーティション（又は互いに素カバー）における単色矩形の最小数の対数（基数2） { 0 …
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パリティと
パリティとは分離不可能な双子のようなものです。それとも、過去30年の間そうでした。ライアンの結果に照らして、少人数のクラスに対する関心が新たになります。AC0AC0AC^0 Furst Saxe SipserからYao to Hastadまでは、すべてパリティおよびランダム制限です。Razborov / Smolenskyは、パリティ付きの近似多項式です（ok、modゲート）。Aspnes et alは、パリティに弱い次数を使用しています。さらに、Allender HertrampfとBeigel Taruiは、少人数のクラスで戸田を使用することについてです。そして、決定木を持つRazborov / Beame。これらはすべてパリティバスケットに分類されます。 1）でないことを直接示すことができる（パリティ以外の）他の自然な問題は何ですか？AC0AC0AC^0 2）AC ^ 0の下限に対する劇的に異なるアプローチが試みられたことを知っている人はいますか？
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L_k-distinctの最小NFAのサイズの限界
2つの文字が等しくないように、上のすべての文字の文字列で構成される言語考えます。LのK - D iは、S 、T I N C TLk−distinctL_{k-distinct} K kkΣΣ\Sigma LのK - D iは、sはT I N C T：= { wは= σ 1 σ 2。。。σ K | ∀ I ∈ [ K ] ：σ I ∈ Σ と ∀ J ≠ I ：σ J ≠ σ I } Lk−distinct:={w=σ1σ2...σk∣∀i∈[k]:σi∈Σ and …
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計算可能な数が有理数か整数かをテストすることはできますか？
計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？
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ゲートファンアウト1 を使用して
編集（2011年8月22日）： 私はさらに質問を簡素化し、質問に報奨金を置いています。おそらく、この単純な質問には簡単な答えがあります。また、関連性がなくなった元の質問のすべての部分を取り消し線で囲みます。（元の質問に部分的に答えてくれたStasys JuknaとRyan O'Donnellに感謝します！） バックグラウンド： AC所与0深さkとサイズSを有する回路、別のAC存在0深さkとサイズと同じ関数演算回路新しい回路は全てゲートのファンアウト= 1を有するように。つまり、回路はツリーのように見えます（入力は複数のゲートにファンアウトする可能性があるため、入力を除く）。これを行う1つの方法は、すべてのゲートのファンアウトが1になるまで、ファンアウトが1より大きいすべてのゲートを複製することです。O （Sk）O(Sk)O(S^k) しかし、これはAC 0回路をファンアウト1のAC 0回路に変換する最も効率的な方法ですか？Ryan O'Donnellのコースノートの講義14で以下を読みました。 Cがパリティを計算するサイズSの深さkの回路であると仮定します。Cをレベル化されたdepth-k回路に変換できることを示す演習です。レベルはANDゲートとORゲートを交互に切り替え、入力ワイヤは2nリテラルであり、各ゲートにはファンアウト1があります（つまり、ツリーです） ） -せいぜいへとサイズが大きく。（2 k S）2≤ O （S4）(2kS)2≤O(S4)(2kS)^2 \leq O(S^4) 脚注：実際、これは少しややこしい練習です。サイズのみを取得する必要がある場合は簡単です。これは、kを「定数」と考える場合、この目的ではほぼ同じです。O （Sk）O(Sk)O(S^k) これは、サイズSの深さk AC 0回路を取り、ファンアウト1、深さk、サイズ（2 k S ）2の AC 0回路に変換する方法があることを意味しますか？もしそうなら、これはどのように行われ、これは最も有名な方法ですか？ （2 k S）2(2kS)2(2kS)^2 元の質問： AC所与0深さkとサイズSを有する回路、ACにこれを変換する（結果として得られる回路の回路規模を最小限に抑えるという点で）最もよく知られた方法何0 1ファンアウト深さkおよびゲートの回路は？これについて知られている下限はありますか？ より新しく、より簡単な質問： この質問は、結果の回路が一定の深さであることを私が主張しない元の問題の緩和です。上で説明したように、深さk、サイズSのAC 0回路をサイズ回路に変換して、新しい回路がすべてのゲートでファンアウト= 1になるようにする方法があります。より良い構造はありますか？O （Sk）O(Sk)O(S^k) 深さkおよびサイズSのAC 0回路が与えられた場合、これをゲートファンアウト1を持つ任意の深さの回路に変換する（結果の回路の回路サイズを最小化するという点で）最もよく知られている方法は何ですか？
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回路サイズの階層定理
回路の複雑さのサイズ階層定理は、この分野の大きなブレークスルーになると思います。 クラス分離への興味深いアプローチですか？ 質問の動機は、私たちが言わなければならないことです サイズの回路では計算できず、サイズの回路で計算できる関数があります。（そしておそらく深さに関する何か）g （n ）f （n ）&lt; o （g （n ））f（n ）f(n)f(n)g（n ）g(n)g(n)f（n ）&lt; o （g（n ））f(n)&lt;o(g(n))f(n)<o(g(n)) したがって、場合、プロパティは不自然に見えます（大きさの条件に違反しています）。明らかに、対角化は使用できません。これは、均一な設定になっていないためです。f（m ）g（N ）≤ NO （1 ）f(m)g(n)≤nO(1)f(m)g(n) \leq n^{O(1)} この方向に結果はありますか？
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