複数のパスでst-connectivityのスペース使用量を削減しますか？

グラフ仮定と頂点のストリームとして提示されているエッジが、複数のパスがストリーム上許されます。n $G$$n$$m$

Monika Rauch Henzinger、Prabhakar Raghavan、およびSridar Rajagopalanは、データにパスが許可されている場合、 2つの与えられた頂点間にパスがあるかどうかを判断するためにスペースが必要であることを観察しました。（テクニカルレポートバージョンも参照してください。）ただし、実際にこの限界を達成するためのアルゴリズムは提供されていません。最適なアルゴリズムは、現実的なコンピューティングモデルで実際に空間を取ると仮定します。これは、一定サイズのポインターを使用してメモリのインデックスを作成できない場合、異なる頂点を区別する必要があるためです。G k O （（$\Omega(n/k)$$G$$k$$O((n\, \log\, n)/k)$$n$

どのようにして、グラフの接続性を決定することができ使用して渡しO （（$k$スペース？$O((n\, \log\, n)/k)$

1つのパスのみが許可されている場合、入力データは頂点のセットのパーティションとして保存でき、2つの異なるセットの頂点間にエッジが見られる場合はセットをマージできます。これには明らかにスペース。私の質問は k > 1についてです。必要なスペースを減らすために、どうすればより多くのパスを使用できますか？$O(n\, \log\, n)$$k > 1$

（自明性を避けるために、は定数でアプリオリに制限できないパラメーターであり、スペースの制限はnとkの両方の関数を含む式です。）$k$$n$$k$

更新：場合でも、n / 2頂点のみを保存する方法があると本当に便利です。または、kに関係なく、定数cに対して実際にはより強い下限c nがありますか？$k=2$$n/2$$cn$$c$$k$

準線形空間と多項式時間を同時に実行するst-connectivityのアルゴリズムを見つけることは、長年の未解決の問題であり、目的のより簡単なタスクです。このようなアルゴリズムは、無向バージョンで知られていますが、これらでも大きな多項式時間を必要とします（kパスアルゴリズムによって暗示されるO（km）時間ではなく）。特に、指示されたケースが難しいように見える理由に関するTompaの論文への参照を参照してください。

$k = \Theta(n)$$O(\log n)$$O(nm)$

$k$

さらに別の非回答：大きなグラフで動作するmapreduceスタイルのアルゴリズムに関する論文がいくつかあります。目標は、密なグラフに対してマシンごとのスペースo（m）を達成することですが、通常はマシンごとにO（n）スペースが必要です。

theory.stanford.edu/~sergei/papers/soda10-mrc.pdf http://theory.stanford.edu/~sergei/papers/spaa11-matchings.pdf

$O(n\log n/ k)$$k$$n/k$$st$$n/k$$n/k$$st$