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関数の下限、通常はアルゴリズムの複雑さまたは問題に関する質問

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抽象化の価格の例?
理論的なコンピューターサイエンスは、「抽象化の代価」の例を示しています。最も顕著な2つは、ガウスの消去と並べ替えです。すなわち: 全体として行と列に操作を制限する場合、ガウス消去法は、たとえば行列式の計算に最適であることが知られています [1]。明らかに、Strassenのアルゴリズムはその制限に従わず、ガウス消去法よりも漸近的に優れています。 並べ替えにおいて、リストの要素を比較および移動のみが可能なブラックボックスとして扱う場合、標準のnlognnlog⁡nn \log n情報理論的下限があります。しかし、フュージョンツリーは、私が理解している限り、乗算の巧妙な使用に縛られています。 抽象化の価格の他の例はありますか? もう少し形式的にするために、弱いモデルの計算では下限が無条件にわかっているが、強いモデルでは違反していることがわかっている例を探しています。さらに、弱いモデルの弱点は抽象化の形でもたらされるべきであり、それは確かに主観的な概念です。たとえば、モノトーン回路の制限を抽象化とは考えていません。上記の2つの例が、私が探しているものを明らかにすることを願っています。 [1] KLYUYEV、VV、およびNI KOKOVKIN-SHcHERBAK:線形代数方程式の解の算術演算数の最小化について。GI TEEによる翻訳:テクニカルレポートCS 24、6月t4、t965、スタンフォード大学コンピューターサイエンス部。

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多項式時間硬さの結果を示すために使用できる問題
新しい問題のアルゴリズムを設計する際に、しばらくして多項式時間アルゴリズムを見つけられない場合、NP困難であることを証明しようとするかもしれません。成功すれば、なぜ多項式時間アルゴリズムが見つからなかったかを説明しました。P!= NPであることを私が確実に知っているわけではなく、これが現在の知識で行うことができる最高のものであるだけであり、実際、コンセンサスはP!= NPであるということです。 同様に、ある問題の多項式時間解を見つけたが、実行時間はです。多くの努力の後、私はこれを改善することで進歩を遂げません。したがって、代わりに、3SUM困難であることを証明しようとするかもしれません。これは通常、3SUMが実際にΘ (n 2)時間を必要とするという私の最高の信念のためではなく、満足のいく状況です。しかし、これは現在の最新技術であり、そして失敗しました。だから、私ができる最善のことは私のせいではありません。O (n2)O(n2)O(n^2)Θ (n2)Θ(n2)\Theta(n^2) このような場合、NPの問題に対するチューリングマシンの超線形下限はないため、実際の下限の代わりにできるのは硬度の結果です。 すべての多項式実行時間に使用できる問題の均一なセットはありますか?たとえば、ある問題のアルゴリズムがよりも優れている可能性が低いことを証明したい場合、Xがハードであると示してそのままにしておくことができるような問題Xがありますか?O (n7)O(n7)O(n^7) 更新:この質問は、もともと問題の家族を尋ねました。問題のファミリーはそれほど多くなく、この質問には個々の難しい問題の優れた例がすでに寄せられているので、多項式時間の硬さの結果に使用できる問題の質問を緩和しています。また、より多くの回答を促すために、この質問に報奨金を追加しています。


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任意のゲートセット上の回路下限
1980年代、Razborovは、計算に指数関数的に多くのANDおよびORゲートを必要とする明示的な単調なブール関数(CLIQUE関数など)があることを有名に示しました。ただし、ブールドメイン{0,1}の基底{AND、OR}は、普遍的ではない興味深いゲートセットの一例にすぎません。これは私の質問につながります: 興味深いことに、モノトーンゲートとは異なる、ゲートサイズの指数関数的な下限が知られているゲートのセットはありますか(回路に深さや他の制限はありません)。そうでない場合、そのような下限の妥当な候補であるゲートのセットはありますか?Razborovの単調な回路の結果がそうでなかったように、必ずしもNatural Proofsバリアを突破する必要がない境界はありますか? このようなゲートセットが存在する場合、k≥3の場合、k-aryアルファベットを超えます。その理由は、バイナリアルファベット上で、 (1)モノトーンゲート({AND、OR})、 (2)線形ゲート({NOT、XOR})、および (3)ユニバーサルゲート({AND、OR、NOT}) Postの分類定理から次のように、基本的に興味深い可能性を使い果たします。(定数-バイナリの場合は0および1-は常に無料で利用できると仮定していることに注意してください。)線形ゲートでは、すべてのブール関数f:{0,1} n →{0,1}計算可能は、線形サイズの回路で計算可能です。もちろん、普遍的なセットで、私たちは自然な証明と他の恐ろしい障壁に立ち向かっています。 一方、3シンボルまたは4シンボルアルファベット(たとえば)を超えるゲートセットを考慮すると、より幅広い可能性のセットが開かれます-少なくとも私の知る限り、それらの可能性は完全にマップされたことはありません複雑性理論の観点から(私が間違っている場合は修正してください)。可能性のあるゲートセットは、普遍代数の「クローン」の名前で広く研究されていることを知っています。その分野の結果が回路の複雑性に何を意味するのかを知っているように、私はその文献にもっと精通していたらと思います。 いずれにせよ、ゲートセットのクラスを単純に検討したい有限のアルファベットに拡張すれば、証明に適した他の劇的な回路下限が存在することは問題のようには見えません。私が間違っている場合、理由を教えてください!

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PRIMES、FACTORINGの問題はP-hardであることがわかっていますか?
してみましょうPRIMES(別名素数判定は)問題になります: 自然数与えられた、は素数ですか?nnnnnn してみましょうFACTORINGが問題になります。 自然数を考えると、で、ない倍持っていると?nnnmmm1≤m≤n1≤m≤n1 \leq m \leq nnnnddd1&lt;d&lt;m1&lt;d&lt;m1 < d < m PRIMESがP-hardかどうかはわかりますか?ファクタリングはどうですか?これらの問題の最もよく知られている下限は何ですか?

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NP困難問題のための最適な欲張りアルゴリズム
より良い言葉がないので、欲は良いです。アルゴリズム入門コースで教えられた最初のアルゴリズムパラダイムの1つは貪欲なアプローチです。貪欲なアプローチは、Pの多くの問題に対してシンプルで直感的なアルゴリズムをもたらします。さらに興味深いことに、一部のNP困難な問題については、明白で自然な欲張り/ローカルアルゴリズムが(適切な複雑性の理論的仮定の下で)最適な近似係数をもたらします。典型的な例はSet Cover Problemです。自然な欲張りアルゴリズムは、P = NPでない限り最適なO(ln n)近似係数を与えます。 適切な複雑さの理論的仮定の下で証明可能な最適であるNP困難問題のいくつかの自然な欲張り/ローカルアルゴリズムに名前を付けます。

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ブール複雑度へのコホモロジーアプローチ
数年前、(論文を参照してくださいグロタンディークのコホモロジーに下部回路境界を関係ジョエル・フリードマンによっていくつかの作業があった:http://arxiv.org/abs/cs/0512008、http://arxiv.org/abs/cs/0604024)。この考え方は、ブールの複雑さに関する新しい洞察をもたらしましたか、それともむしろ数学的な好奇心のままですか?

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AND ORゲートとXORゲートを備えた境界深さ回路で記述されたフーリエ係数ブール関数
してみましょうブール関数であるとののから関数としてFについて考えてみましょうに。この言語では、fのフーリエ展開は、単に平方自由単項式に関するfの展開です。(これらの単項式は、の実関数の空間の基礎を形成します。係数の2乗和は単純にため、は2乗のない単項式の確率分布になります。この分布をF分布と呼びましょう。fff{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n{−1,1}{−1,1}\{ -1,1 \}2n2n2^n{−1,1}n{−1,1}n\{-1,1\}^n111fff fが多項式サイズの有界深度回路によって記述できる場合、F分布はサイズの単項式にほぼ指数関数的に小さい重みに集中していることが、Linial、Mansour、およびNisanの定理によってわかり。これは、Hastadスイッチング補題から派生しています。(直接的な証明が最も望ましいでしょう。)polylog npolylog n\text{polylog } n mod 2ゲートを追加するとどうなりますか?考慮すべき一つの例は、関数であるに最初のn個の変数と最後のn個の変数のMOD 2内積として記載される変数。ここで、F分布は均一です。IP2nIP2nIP_{2n}2n2n2n 質問:ブール関数のF分布は、境界のある深さの多項式サイズAND、OR、MOD回路によって記述され、 「レベル」に集中しますか(超多項式的に小さな誤差まで)?22_2o(n)o(n)o(n) 備考: 反例への可能性のあるパスの1つは、バラバラの変数セットにさまざまなIPを「何らかの方法で接着」することですが、その方法はわかりません。おそらく質問を弱め、変数にいくつかの重みを割り当てることを許可する必要がありますが、それを行うための明確な方法も見当たりません。(したがって、これら2つの事項を参照することも、私が尋ねていることの一部です。)2k2k_2k modゲートを許可する場合にも、質問(または成功したバリエーション)に対する肯定的な答えが適用されると推測します。(それで、質問をすることは、ライアン・ウィリアムズの最近の印象的なACC結果によって動機づけられました。) kk_k MAJORITYの場合、F分布は「レベル」ごとに大きくなります(1 / poly)。 Lucaが示すように、私が尋ねた質問に対する答えは「いいえ」です。残る問題は、AND ORで記述できるブール関数のF分布のプロパティを見つける方法と、MAJORITYで共有されないmod 2ゲートを見つける方法を提案することです。 MONOTONE関数について説明することにより、質問を保存する試み: 質問:MONOTONEブール関数のF分布は、境界のある深さの多項式サイズAND、OR、MOD回路で記述され、 「レベル」に集中しますか(超多項式的に小さな誤差まで)?22_2o(n)o(n)o(n) を置き換えることもできるのではないかと推測するかもしれないので、この強力なバージョンの反例は興味深いかもしれません。 o(n)o(n)o(n)polylog(n)polylog(n)\text{polylog} (n)

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上限の証明による下限の証明
Ryan Williamsの最近の画期的な回路の複雑さの下限の結果は、上限の結果を使用して複雑さの下限を証明する証明手法を提供します。Suresh Venkatは、この質問に対する答えで、理論的なコンピューターサイエンスに直感に反する結果はありますか?、上限を証明して下限を設定する2つの例を提供しました。 複雑さの上限を証明することによって得られた、複雑さの下限を証明するための他の興味深い結果は何ですか? 暗示する任意の上限推測があるNP⊈P/polyNP⊈P/polyNP \not\subseteq P/poly(またはP≠NPP≠NPP \ne NP)?

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スライディングウィンドウの中央値を計算するための非自明なアルゴリズム
実行中の中央値を計算する必要があります: 入力: nnn、kkk、vector (x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, \dotsc, x_n)。 出力: vector (y1,y2,…,yn−k+1)(y1,y2,…,yn−k+1)(y_1, y_2, \dotsc, y_{n-k+1})、ここでyiyiy_iはの中央値です(xi,xi+1,…,xi+k−1)(xi,xi+1,…,xi+k−1)(x_i, x_{i+1}, \dotsc, x_{i+k-1})。 (近似による不正行為はありません。正確な解を求めます。要素xixix_iは大きな整数です。) サイズ探索木を維持する簡単なアルゴリズムがありkkkます。合計実行時間はO(nlogk)O(nlog⁡k)O(n \log k)です。(ここで「検索ツリー」とは、対数時間での挿入、削除、および中央値クエリをサポートする効率的なデータ構造を指します。) しかし、これは私には少し愚かなようです。中央値だけでなく、サイズkのすべてのウィンドウ内のすべての順序統計を効果的に学習します。さらに、特にkが大きい場合、これは実際にはあまり魅力的ではありません(大きな検索ツリーが遅くなる傾向があり、メモリ消費のオーバーヘッドが自明ではなく、キャッシュ効率が悪いことが多いなど)。kkkkkk 大幅に改善できることはありますか? 下限はありますか(たとえば、単純なアルゴリズムは比較モデルに漸近的に最適ですか)。 編集:デビッドエップスタインは、比較モデルのための素敵な下限を与えました!それにもかかわらず、些細なアルゴリズムよりも少し賢いことをすることは可能だろうか? たとえば、これらの線に沿って何かを行うことができます。入力ベクトルをサイズ部分に分割します。各部分をソートします(各要素の元の位置を追跡します)。そして、区分的にソートされたベクトルを使用して、補助データ構造なしで実行中の中央値を効率的に見つけますか?もちろん、これはまだO (n log kkkkですが、実際には、配列のソートは検索ツリーを維持するよりもはるかに高速になる傾向があります。O(nlogk)O(nlog⁡k)O(n \log k) 編集2: Saeedは、検索ツリー操作よりもソートの方が速いと思う理由をいくつか見たいと思っていました。以下は、、n = 10 8の非常に簡単なベンチマークです。k=107k=107k = 10^7n=108n=108n = 10^8 ≈8s:それぞれk個の要素を持つベクトルをソートn/kn/kn/kkkk ≈10s:要素を持つベクトルの並べ替えnnn ≈80s:サイズkのハッシュテーブルでの挿入と削除nnnkkk ≈390s:サイズkのバランスの取れた検索ツリーでの挿入と削除nnnkkk ハッシュテーブルは比較のためだけにあります。このアプリケーションでは直接使用しません。 要約すると、ソートとバランスの取れた検索ツリー操作のパフォーマンスにはほぼ50倍の差があります。そして、を増やすと事態はさらに悪化します。kkk (技術的詳細:データ=ランダムな32ビット整数。コンピューター=典型的な最新のラップトップ。テストコードはC ++で記述され、標準ライブラリルーチン(std :: sort)とデータ構造(std :: ...

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AC0関数の数式サイズの下限
質問: AC 0の明示的な関数の最もよく知られている式サイズの下限は何ですか?下限を持つ明示的な関数はありますか?Ω (n 2)Ω(n2)\Omega(n^2) バックグラウンド: ほとんどの下限と同様に、式のサイズの下限を達成するのは困難です。標準の汎用ゲートセット{AND、OR、NOT}の式サイズの下限に興味があります。 このゲートセット上の明示的な関数の最もよく知られている式のサイズの下限は、Andreevによって定義された関数のです。この境界はHåstadによって示され、アンドリーエフのの下限を改善しました。別の明示的な下限は、パリティ関数のKhrapchenkoの下限です。Ω (n 3 − o (1 ))Ω (n 2.5 − o (1 ))Ω (n 2)Ω(n3−o(1))\Omega(n^{3-o(1)})Ω(n2.5−o(1))\Omega(n^{2.5-o(1)})Ω(n2)\Omega(n^2) ただし、これら2つの関数はAC 0ではありません。二次(またはそれ以上)の下限を持つAC 0の明示的な関数を知っているのだろうかと思います。Nechiporukが示すように、私が知っている最良の範囲は、要素の区別関数の下限です。要素の区別関数はAC 0にあるため、\ Omega(n ^ 2 / \ log n)、好ましくは\ Omega(n ^ 2)よりも優れた明示的なAC 0関数の下限を探しています。。Ω (n 2 / log n )Ω(n2/logn)\Omega(n^2/\log n)Ω (n 2 / log n )Ω ...

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多項式時間からログスペースを分離する
決定論的対数空間(LLL)で決定可能な問題は、せいぜい多項式時間(PPP)で実行されることは明らかです。LLLと間には複雑なクラスが豊富にありますPPP。例には、NLNLNL、L o gCFLLogCFLLogCFL、NC私NCiNC^i、SA C私SACiSAC^i、A C私ACiAC^i、SC私SCiSC^iます。と広く信じられていL ≠ PL≠PL \neq Pます。 私のブログ投稿の 1つで、を証明するための2つのアプローチを(対応する推測とともに)言及しましたL≠PL≠PL \neq P。これらのアプローチは両方とも分岐プログラムに基づいており、20年間隔です!! そこ分離に向かって他のアプローチ及び/又は推測されているLLLからPPP(OR)との間の任意の中間クラス分離LLL及びPPP。

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多項式でORを表す
私は、変数のOR関数が、多項式で次のように正確に表現できることを知っています: 、次数です。nnnx1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots, x_np(x1,…,xn)p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)p(x1,…,xn)=1−∏ni=1(1−xi)p(x1,…,xn)=1−∏i=1n(1−xi)p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)nnn しかし、がOR関数を正確に表す多項式である場合(つまり、)、次に?ppp∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁ni=1xi∀x∈{0,1}n:p(x)=⋁i=1nxi\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_ideg(p)≥ndeg⁡(p)≥n\deg(p) \ge n

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なぜハミルトニアンサイクルはパーマネントとそれほど違うのですか?
多項式f(x1,…,xn)f(x1,…,xn)f(x_1,\ldots,x_n)は、m = poly (n )の場合、多項式g (y 1、… 、y m)の単調な投影であり、代入 πがあります:{ y 1、… 、Y 、M } → { X 1、... 、X nは、0 、1g(y1,…,ym)g(y1,…,ym)g(y_1,\ldots,y_m)mmm(n)(n)(n)π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}π:{y1,…,ym}→{x1,…,xn,0,1}\pi:\{y_1,\ldots,y_m\}\to\{x_1,\ldots,x_n, 0,1\} ようにf(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x1,…,xn)=g(π(y1),…,π(ym))f(x_1,\ldots,x_n)=g(\pi(y_1),\ldots,\pi(y_m))。つまり、結果の多項式が fと一致するように、 gの各変数yjyjy_jを変数 x iまたは定数 0または 1で置き換えることができます。 gggxixix_i000111fff 永久多項式PERとハミルトニアンサイクル多項式HAMの違い(理由)に興味があります: PERn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i) and HAMn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i)PERn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i) and HAMn(x)=∑h∏i=1nxi,h(i) \mbox{PER}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)}\ \ \ \ \mbox{and} \ \ \ \ \mbox{HAM}_n(x)=\sum_{h}\prod_{i=1}^{n}x_{i,h(i)} ここで、最初の合計はすべての順列hに対するもの です:[であり、2番目はすべての循環順列 hのみです:[ ...

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SATの現在の最適な空間の下限は?
前の質問に続いて、 SATの現在の最適な空間の下限は何ですか? ここでスペースの下限とは、バイナリワークテープアルファベットを使用するチューリングマシンで使用されるワークテープセルの数を意味します。TMは内部状態を使用して任意の固定数のワークテープセルをシミュレートできるため、定数の加法的項は避けられません。ただし、暗黙的に残されることが多い乗法定数を制御することに興味があります。通常のセットアップでは、より大きなアルファベットを介して任意の定数圧縮が許可されるため、乗法定数はそこでは関係ありませんが、固定アルファベットではそれを考慮することができるはずです。 たとえば、SATには以上のloglogn+clog⁡log⁡n+c\log\log n + cスペースが必要です。そうでない場合、この空間の上限は、シミュレーションによって時間の上限につながるため、SATの結合されたn 1.801 + o (1 )時空の下限に違反します(リンクを参照してください)質問)。また、SATが少なくとも必要であることを主張するために、この引数を向上させることが可能と思わδ ログのn + Cのいくつかの小さな正のためのスペースδのようなものである0.801 / Cをn1+o(1)n1+o(1)n^{1+o(1)}n1.801+o(1)n1.801+o(1)n^{1.801+o(1)}δlogn+cδログ⁡n+c\delta\log n + cδδ\delta0.801/C0.801/C0.801/Cここで、CCCは、時間制限TMによる空間制限TMのシミュレーションの定数指数です。 あいにく、CCCは通常非常に大きくなります(TMのテープが最初に大きなアルファベットを介して1本のテープにエンコードされる通常のシミュレーションでは、少なくとも2つ)。このような境界δ≪1δ≪1\delta \ll 1かなり弱く、そして私は特にの下限空間に興味があるlogn+cログ⁡n+c\log n + c。Ω(nd)Ω(nd)\Omega(n^d)ステップの無条件の時間下限は、十分に大きい定数d&gt;1d&gt;1d > 1場合、シミュレーションによるそのような空間の下限を意味します。しかし、時間下の境界Ω(nd)Ω(nd)\Omega(n^d)のためにd&gt;1d&gt;1d>1は、大きなについては言うまでもなく、現在知られていませんddd。 別の言い方をすると、SATの超線形時間の下限の結果であるが、より直接取得できる可能性があるものを探しています。

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