タグ付けされた質問 「greedy-algorithms」

より良い言葉がないので、欲は良いです。アルゴリズム入門コースで教えられた最初のアルゴリズムパラダイムの1つは貪欲なアプローチです。貪欲なアプローチは、Pの多くの問題に対してシンプルで直感的なアルゴリズムをもたらします。さらに興味深いことに、一部のNP困難な問題については、明白で自然な欲張り/ローカルアルゴリズムが（適切な複雑性の理論的仮定の下で）最適な近似係数をもたらします。典型的な例はSet Cover Problemです。自然な欲張りアルゴリズムは、P = NPでない限り最適なO（ln n）近似係数を与えます。 適切な複雑さの理論的仮定の下で証明可能な最適であるNP困難問題のいくつかの自然な欲張り/ローカルアルゴリズムに名前を付けます。

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OK、これは宿題の質問のように思えるかもしれませんが、ある意味ではそうです。学部のアルゴリズムクラスの宿題として、私は次の古典を与えました。 無向グラフ所与G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)、アルゴリズムを与えることを発見カット(S,S¯)(S,S¯)(S,\bar{S})ようにδ(S,S¯)≥|E|/2δ(S,S¯)≥|E|/2\delta(S,\bar{S})\geq |E|/2、δ(S,S¯)δ(S,S¯)\delta(S,\bar{S})カットを横切るエッジの数です。時間の複雑さはなければなりませんO(V+E)O(V+E)O(V+E)。 何らかの理由で、次の解決策がたくさんありました。今では時間がかかりすぎているので、グレーディングの問題ではありませんが、興味がありました。それは正しいように見えませんが、反例に対する私の試みはすべて失敗しています。ここにあります： Sを設定← ∅S←∅S←∅S\leftarrow \emptyset してみましょうvvvグラフの最大の次数頂点こと vvvをSに追加SSS vに隣接するすべてのエッジを削除しますvvv もしδ(S,S¯)&lt;|E|/2δ(S,S¯)&lt;|E|/2\delta(S,\bar{S}) < |E|/2戻る 手順5のEEEは元のグラフを指していることに注意してください。また、ステップ4をスキップした場合、これは明らかに間違っていることに注意してください（たとえば、2つの孤立したエッジを持つ三角形の結合）。 さて、どんな単純な証明にも次の問題があります-新しい頂点vvvを追加するとき、実際に削除するのかもしれませんd （v ）の新しいエッジ|S||S||S|を追加しながら、カットからのエッジ（d （v ）はエッジが削除されたグラフを指します）。問題は、これが私たちの原因に有害である場合、この頂点vの「使用」度はこれまでよりも高いため、以前に「選択されるべきだった」ということです。d(v)d(v)d(v)d(v)d(v)d(v)vvv これはよく知られたアルゴリズムですか？簡単な反例はありますか？

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私は最近、最短超弦問題の貪欲な推測について学びました。 この問題では、文字列のs1、… 、sns1、…、sns_1,\dots, s_nセットが与えられ、最短のスーパーストリング sssつまり各s私s私s_iがsss部分文字列として現れるようなものを見つけたいです。 この問題はNP困難であり、長い一連の論文の後、この問題の最もよく知られている近似アルゴリズムの比率は2 + 11302+11302+\frac{11}{30} [Paluch '14]。 実際には、生物学者は次の貪欲アルゴリズムを使用します。 各ステップで、すべてのペアで最大のオーバーラップを持つ2つの文字列（別の文字列のプレフィックスである最大のサフィックス）をマージし、残りの文字列（すべての入力文字列のスーパーストリング）になるまでこの新しいインスタンスで繰り返します） 以下の結合222本貪欲アルゴリズムの近似比率では、入力から得ることができるc （a b ）k、（b a ）k、（a b ）kcc（ab）k、（ba）k、（ab）kcc(ab)^k,(ba)^k,(ab)^kc。 興味深いことに、これは最悪の例であると推測されました。つまり、Greedy は最短スーパーストリング問題の222近似を達成するということです。このように自然で簡単なアルゴリズムを分析するのは非常に難しいことを知って非常に驚きました。 この質問がなぜ難しいのかを示唆する直観、事実、観察、例はありますか？

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アルゴリズム入門の教科書に基づいて、貪欲なアルゴリズムの正確性には、2つの特性を持つ問題が必要です。 貪欲な選択プロパティ 最適な下部構造 0/1ナップザック問題など、貪欲な選択プロパティがないために貪欲な解決策が失敗する反例を簡単に見つけることができます。しかし、他の可能性を想像するのはかなり難しいと思います。誰も私に問題と対応する貪欲なアルゴリズムを与えることができますか？

14 greedy-algorithms 

ウェル毎マトロイドためことが確立された、任意の重み関数、アルゴリズムが終了の最大重量基準返し。それで、逆方向も本当ですか？つまり、貪欲なアルゴリズムが存在する場合、マトロイド構造も存在する必要があります。MMMwwwGreedyBasis(M,w)GreedyBasis(M,w)\mbox{GreedyBasis}(M,w)MMM

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貪欲は非公式な用語ですが、特定の問題については、貪欲を数学的に定式化できるため、最適な貪欲アルゴリズムが存在しないことが証明される可能性があります。これは可能ですか？

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