タグ付けされた質問 「cc.complexity-theory」

P対NPおよびその他のリソースに制限された計算。

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ノルベルト・ブルムの2017証拠があることである
Norbert Blumは最近、ある38ページの証拠を投稿しました。それが正しいか?P≠ NPP≠NPP \ne NP また、トピックについて:他のどこで(インターネット上)その正確性が議論されていますか? 注:この質問テキストの焦点は時間とともに変化しました。詳細については、質問のコメントを参照してください。

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PとNPCの間の問題
因数分解とグラフ同型はNPの問題であり、Pに存在することもNP完全であることも知られていない。この特性を共有する他の(十分に異なる)自然の問題は何ですか?ラドナーの定理の証明から直接得られる人工的な例は考慮されません。 これらの例のいずれかは、いくつかの「合理的な」仮説のみを仮定して、NP中間体であると証明できますか?

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複雑性理論にはどのような数学的背景が必要ですか?
私は現在、学部生で、今年卒業する予定です。卒業後、TCSマスター/博士号を取得することを検討しています。私は数学のどの分野がTCS、特に(古典的な)複雑性理論に役立つと考えられているのか疑問に思っています。 複雑性理論を勉強したい人にとって、どの分野が必須だと思いますか?これらの分野をカバーする優れた教科書をご存知ですか。もしそうなら、難易度(入門、卒業など)を含めてください。 複雑性理論であまり使用されていない分野を検討しているが、TCSにとって重要であると考えている場合は、それも参照してください。

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TCSのどの興味深い定理がAxiom of Choiceに依存していますか?(あるいは、決定の公理?)
数学者は、選択の公理(AC)および決定の公理(AD)を心配することがあります。 選択の公理:任意の集合を考える空でない組は、関数があるセットが与えられると、そのにおける、メンバー返し。 f S C SCC{\cal C}fffSSSCC{\cal C}SSS 決定性の公理:を無限に長いビット文字列のセットとする。アリスとボブは、無限の文字列が構築されるまで、アリスが最初のビットを選び、ボブが2番目のビット選ぶというゲームをします。場合、アリスがゲームに勝ち、場合、ボブがゲームに勝ちます。仮定は、すべてのに対して、プレイヤーの1人に勝利戦略があるということです。(たとえば、がすべて1の文字列のみで構成されている場合、Bobは有限数の動きで勝つことができます。)B 1 、B 2、X = B 1 B 2 ⋯ X ∈ S X ∉ SSSSb1b1b_1b2b2b_2x = b1b2⋯x=b1b2⋯x = b_1 b_2 \cdots X ∈ Sx∈Sx \in SX ∉ Sx∉Sx \not \in S SSSSSSS これら2つの公理は互いに矛盾していることが知られています。(それについて考えるか、ここに行きます。) 他の数学者は、証明におけるこれらの公理の使用にほとんど注意を払っていません。私たちは主に有限のオブジェクトで作業していると考えているため、それらは理論的なコンピュータサイエンスとはほとんど無関係のようです。ただし、TCSは計算上の決定問題を無限ビット文字列と定義し、(たとえば)自然の漸近関数としてアルゴリズムの時間の複雑さを測定するため、これらの公理のいずれかの使用が忍び寄る可能性が常にありますいくつかの証拠に。 これらの公理の1つが必要な場所を知っているTCSで最も印象的な例は何ですか?(例を知っていますか?) 少しだけ予言するために、(すべてのチューリングマシンのセットに対する)対角化引数は、選択の公理の適用ではないことに注意してください。チューリングマシンが定義する言語は無限ビット文字列ですが、各チューリングマシンには有限の記述があるため、ここでは無限に多くの無限集合に対して選択関数を実際に必要としません。 (例がどこから来るのかわからないので、多くのタグを付けました。)

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ある -completeの問題はより本質的に少なく扱いやすい -completeの問題?
現在、大規模な入力の一般的なケースでは、問題または問題のいずれかを解決することは実行不可能です。ただし、どちらも指数時間と多項式空間で解くことができます。P S P A C ENPNPNPPSPACEPSPACEPSPACE 非決定的または「ラッキー」なコンピューターを構築することはできないので、問題がまたは場合、それは私たちに何か違いをもたらしますか?P S P A C ENPNPNPPSPACEPSPACEPSPACE


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Pの実行時境界は決定可能ですか?(回答:いいえ)
質問は、次の質問が決定可能かどうかです。 問題 整数およびチューリングマシンがPにあると約束された場合、入力の長さに関しての実行時間は?kkkM O(n k)nMMMMMM O(nk)O(nk){O}(n^k)nnn 「はい」、「いいえ」、または「オープン」という狭い回答は受け入れられますが(参照、証明スケッチ、または現在の知識のレビューを含む)、より広範な回答も大歓迎です。 回答 Emanuele Violaは 、質問が決定不能であることの証拠を投稿しました(以下を参照)。 バックグラウンド 私にとって、この質問は、Pのランタイムは上限にEXPリソースを必要としますかという質問に対するLuca Tevisanの回答を解析する際に自然に生じました。…具体的な例は知られていますか? この質問は、MathOverflowの質問にも関連しています。数学で最も魅力的なチューリングの決定不可能な問題は何ですか?、「数学」という言葉が「工学」に変更されたバリエーションでは、実行時間の推定は(たとえば)制御理論と回路設計に関連する普遍的な工学問題であると認識されています。 したがって、この質問をする際の幅広い目的は、複雑度クラスPでの実行時推定の実際的な側面が実行可能である(つまり、推定にPの計算リソースを必要とする)か、実行不可能である(つまり、推定するにはEXPに計算リソースが必要です)、正式には決定できません。 ---編集(回答後)--- Violaの定理をMathOverflowのコミュニティウィキ「魅力的なチューリング決定不能問題」に追加しました。 複雑度クラスPに関連付けられたwikiの最初の貢献です。これは、ヴィオラの定理の新規性、自然性、および広範な範囲(およびIMHOの美しさ)を証明しています。 ---編集(回答後)--- ジュリス・ハートマニスのモノグラフFeasible計算と証明可能な複雑性プロパティ(1978)は、Emanuele Violaの証明とほぼ同じ内容をカバーしています。

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PPのPHの詳細
最近の質問クラスPHがクラスPPに含まれていたかどうかを尋ねるハックベネットによっては、(それはそう、すべてtrue)をやや矛盾した答えを受けました。一方で、いくつかのオラクルの結果が反対に与えられ、他方でスコットは、戸田の定理がPHがPPの確率的変種であるBP.PPにあり、ランダム化はあまり役に立たない。たとえば、合理的な硬度の仮定は、ランダム化を置き換えることができるPRGを意味する。 現在、PPの場合、「完全な」PRGでさえ完全なランダム化解除を暗示することはアプリオリに明確ではありません。 。PP計算の中で多数決をとることがPP自体でできることは明らかではありません。しかし、FortnowとReingoldの論文は、PPが真理値表の削減の下で閉じられていることを示しています(PPが交差点の下で閉じられているという驚くべき結果を拡張しています)。 ここでの質問は何ですか?戸田、Fortnow-Reingold、およびすべてのPRGベースのランダム化解除はすべて相対化するようであるため、適切なPRGが存在するすべてのオラクルのPPのPHを意味します。したがって、PPにPHが含まれていないすべてのオラクル(Minski &Papert、Beigel、Vereshchaginなど)の場合、PPのPRGは存在しません。特に、これは、これらのオラクルにはEXPに適切なハード機能がないことを意味します(そうでなければNW-IWに似たPRGが存在します)。良い面を見ると、これは、これらのオラクル結果のそれぞれの内側のどこかで、そのオラクルで(近似)EXPの(不均一な)PPアルゴリズムが隠れていることを意味します。これらのオラクルの結果はすべて、新しいPPの下限に依存しているように見えるため、これは奇妙です。(しきい値回路用)であり、オラクル構築機構が単純なので、PPの上限がどこに隠れているかわかりません。おそらく、この上限は、(非均一)-PPがすべてのEXPを計算(または少なくともある程度のバイアスを与える)できることを示すのに一般的に機能しますか?そのようなものは、少なくともEXPのCHシミュレーションを提供しませんか? だから、私の質問は2つあると思います:(1)この推論の連鎖は理にかなっていますか?(2)その場合、誰かがPPの暗黙の上限を「発見」できますか? アーロン・スターリングによる編集:これをフロントページにぶつけ、賞金を追加します。これは私のお気に入りの質問の1つで、まだ答えがありません。

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PからNP-hardおよび再び戻るパラメータ化された複雑さ
私は番号によってパラメータ問題の例を探していますK ∈ Nk∈Nk \in \mathbb{N}問題の硬さがあり、非単調にkkk。例示のために(私の経験で)ほとんどの問題は、単一の相転移を有するkkk -SATから単相転移有するK ∈ { 1 、2 }k∈{1,2}k \in \{1,2\}ために(問題はPである)K ≥ 3k≥3k \ge 3の問題はNP-あります(コンプリート)。私は、kが増加するにつれて両方向(簡単なものからハードなもの、そしてその逆)に相転移がある問題に興味があります。kkk 私の質問は、計算の複雑さの難易度ジャンプで尋ねられた質問にいくらか似ており、実際、そこにある回答のいくつかは私の質問に関連しています。 私が知っている例: kkk平面グラフの彩色性:Pでは、場合を除き、k = 3k=3k=3NP完全です。 kkk端子を備えたシュタイナーツリー:k = 2k=2k=2(最短sss - tttパスに崩壊する)およびk = nk=nk=n(MSTに崩壊する)のPであるが、NP-hard "in between"。これらの相転移がシャープかどうかはわかりません(たとえば、場合はP k0k0k_0、場合はNP-hard k0+ 1k0+1k_0+1)。また、他の例とは異なり、の遷移はkkk入力インスタンスのサイズに依存します。 平面式モジュロの満足割り当てをカウントnnn:Pで場合nnnメルセンヌある素数数n = 2k− 1n=2k−1n=2^k-1のための、および#のP-完全最も/(?)の他のすべての値nnn(でアーロン・スターリングからこのスレッド) 。相転移がたくさん! 誘導されたサブグラフの検出:問題は、整数ではなくグラフによってパラメーター化されます。そこグラフ存在H1⊆ H2⊆ H3H1⊆H2⊆H3H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3(ここで、⊆⊆\subseteqかどうかを決定れる、サブグラフ関係の特定の種類を示す)H私⊆ GHi⊆GH_i \subseteq G所与のグラフのGGGためPにあるiは∈ { ...

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人間の心がすぐに達成できることと最も密接に関連する複雑性クラスは何ですか?
この質問は私がしばらく疑問に思っていたものです。 P対NPの問題を説明するとき、クラスNPを創造性と比較することがよくあります。彼らは、モーツァルト品質の交響曲(NPタスクに類似)の作成は、すでに作成された交響曲がモーツァルト品質(Pタスクに類似)であることを検証するよりもはるかに難しいように見えることに注意します。 しかし、NPは本当に「創造性クラス」ですか?他の候補者はたくさんいませんか?「詩は決して終わらない、捨てられるだけだ」という古い格言があります。私は詩人ではありませんが、これは、すぐに検証できる明確な正しい答えがないという考えを連想させます... NPやSATよりもcoNPやTAUTOLOGYなどの問題を思い出させます。私が得ているのは、詩が「間違っている」ときは改善する必要があるときは簡単に検証できるが、詩が「正しい」または「完成した」ときは検証が難しいということだと思います。 確かに、NPは、創造性よりも論理と左脳的思考を思い起こさせます。証明、エンジニアリングの問題、数独パズル、および他のステレオタイプの「左脳問題」は、詩や音楽よりもNPであり、品質の観点から検証しやすいです。 だから、私の質問は次のとおりです。どの複雑さのクラスが、人間が心で達成できることの全体を最も正確にキャプチャしますか?おそらく左脳が近似のSATソルバーではなく、右脳が近似のTAUTOLOGYソルバーではない場合、私は常にぼんやりと考えました(そして、私の推測を裏付ける科学的証拠はありません)。おそらく、心の問題を解決するために心が設定されています...または、おそらくPSPACEの問題を解決することさえできます。 上記で考えを述べました。私は誰もこれについてより良い洞察を提供できるかどうかについて興味があります。私の質問を簡潔に述べるために、私はどの複雑さのクラスを人間の心が成し遂げることができるか、そしてあなたの視点を支持する証拠または議論のために関連付けるべきかを尋ねています。または、私のクセテーションが不適切であり、人間と複雑さのクラスを比較することが意味をなさない場合、なぜこれが当てはまるのでしょうか? ありがとう。 更新:タイトル以外のすべてを上に残しましたが、ここで私が本当に尋ねることを意図した質問があります:どの複雑さのクラスは人間の心が迅速に達成できることに関連していますか?「多項式時間」とは何ですか?明らかに、無限の時間とリソースが与えられた場合、人間はチューリングマシンをシミュレートできます。 答えはPHまたはPSPACEのどちらかだと思いますが、なぜそうなのかについて理性的で首尾一貫した議論を明確に述べることはできません。 注:私は主に、人間が近似できる、または「ほとんどの場合」できることに興味があります。明らかに、SATの難しいインスタンスを解決できる人はいません。心がおおよそのXソルバーであり、クラスCのXが完全な場合、それは重要です。

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多項式時間硬さの結果を示すために使用できる問題
新しい問題のアルゴリズムを設計する際に、しばらくして多項式時間アルゴリズムを見つけられない場合、NP困難であることを証明しようとするかもしれません。成功すれば、なぜ多項式時間アルゴリズムが見つからなかったかを説明しました。P!= NPであることを私が確実に知っているわけではなく、これが現在の知識で行うことができる最高のものであるだけであり、実際、コンセンサスはP!= NPであるということです。 同様に、ある問題の多項式時間解を見つけたが、実行時間はです。多くの努力の後、私はこれを改善することで進歩を遂げません。したがって、代わりに、3SUM困難であることを証明しようとするかもしれません。これは通常、3SUMが実際にΘ (n 2)時間を必要とするという私の最高の信念のためではなく、満足のいく状況です。しかし、これは現在の最新技術であり、そして失敗しました。だから、私ができる最善のことは私のせいではありません。O (n2)O(n2)O(n^2)Θ (n2)Θ(n2)\Theta(n^2) このような場合、NPの問題に対するチューリングマシンの超線形下限はないため、実際の下限の代わりにできるのは硬度の結果です。 すべての多項式実行時間に使用できる問題の均一なセットはありますか?たとえば、ある問題のアルゴリズムがよりも優れている可能性が低いことを証明したい場合、Xがハードであると示してそのままにしておくことができるような問題Xがありますか?O (n7)O(n7)O(n^7) 更新:この質問は、もともと問題の家族を尋ねました。問題のファミリーはそれほど多くなく、この質問には個々の難しい問題の優れた例がすでに寄せられているので、多項式時間の硬さの結果に使用できる問題の質問を緩和しています。また、より多くの回答を促すために、この質問に報奨金を追加しています。


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問題を数えるための驚くべきアルゴリズム
(入力のサイズに関連して)指数関数的に多くのものをカウントすることを伴ういくつかのカウント問題がありますが、驚くべき多項式時間の正確な決定論的アルゴリズムを持っています。例は次のとおりです。 ホログラフィックアルゴリズムの動作の基礎となる、平面グラフ(FKTアルゴリズム)での完全一致のカウント。 グラフ内のスパニングツリーのカウント(キルヒホッフの行列ツリーの定理による)。 これらの例の両方で重要なステップは、特定のマトリックスの行列式を計算するためにカウントの問題を減らすことです。行列式自体はもちろん、指数関数的に多くのものの合計ですが、驚くべきことに多項式時間で計算できます。 私の質問は、行列式の計算に減らない問題を数えるために知られている「驚くほど効率的な」正確で決定論的なアルゴリズムはありますか?

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P = PHを超えてP = NPを増幅できますか?
で記述複雑さ、Immermanあり 系譜7.23。次の条件は同等です 。1. P = NP。 2.有限の順序付けられた構造、FO(LFP)= SO以上。 これは、P = NPを(おそらく)より複雑なクラスの同等のステートメントに「増幅」するものと考えることができます。SOは多項式時間階層PHをキャプチャし、FO(LFP)はPをキャプチャするため、P = PHの場合、これはP = NPと考えることができます。 (これの興味深い部分は、P = NPがP = PHを意味するというステートメントです。NPを含むすべてのクラスCCでP = CCがP = NPを意味することは簡単です。Immermanは単に「if P = NP then PH = NP」おそらく、P = NPをPHのオラクル定義とともに使用して、階層全体が崩壊することを帰納的に示すことができるからです) 私の質問は: この方法でP = NPをさらに増幅できますか? 特に、P = NPがP = CC 'を意味する最大の既知のクラスCC'と、P = NPがCC = NPを暗示する最小のクラスCCとは何ですか?これにより、P = NPを同等の質問CC = ...

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P = NP問題を10歳に説明する
このサイトでの最初の質問です。私は計算理論の修士課程を取っています。P = NPの問題を10歳の子供にどのように説明するのか、なぜそのような金銭的な報酬があるのか​​? あなたのテイク? 私の頭がそれについてはっきりしたので、私は質問を更新します。

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