タグ付けされた質問 「counting-complexity」

解の数を数えるのはどれほど難しいですか？

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PPのPHの詳細
最近の質問クラスPHがクラスPPに含まれていたかどうかを尋ねるハックベネットによっては、（それはそう、すべてtrue）をやや矛盾した答えを受けました。一方で、いくつかのオラクルの結果が反対に与えられ、他方でスコットは、戸田の定理がPHがPPの確率的変種であるBP.PPにあり、ランダム化はあまり役に立たない。たとえば、合理的な硬度の仮定は、ランダム化を置き換えることができるPRGを意味する。 現在、PPの場合、「完全な」PRGでさえ完全なランダム化解除を暗示することはアプリオリに明確ではありません。 。PP計算の中で多数決をとることがPP自体でできることは明らかではありません。しかし、FortnowとReingoldの論文は、PPが真理値表の削減の下で閉じられていることを示しています（PPが交差点の下で閉じられているという驚くべき結果を拡張しています）。 ここでの質問は何ですか？戸田、Fortnow-Reingold、およびすべてのPRGベースのランダム化解除はすべて相対化するようであるため、適切なPRGが存在するすべてのオラクルのPPのPHを意味します。したがって、PPにPHが含まれていないすべてのオラクル（Minski ＆Papert、Beigel、Vereshchaginなど）の場合、PPのPRGは存在しません。特に、これは、これらのオラクルにはEXPに適切なハード機能がないことを意味します（そうでなければNW-IWに似たPRGが存在します）。良い面を見ると、これは、これらのオラクル結果のそれぞれの内側のどこかで、そのオラクルで（近似）EXPの（不均一な）PPアルゴリズムが隠れていることを意味します。これらのオラクルの結果はすべて、新しいPPの下限に依存しているように見えるため、これは奇妙です。（しきい値回路用）であり、オラクル構築機構が単純なので、PPの上限がどこに隠れているかわかりません。おそらく、この上限は、（非均一）-PPがすべてのEXPを計算（または少なくともある程度のバイアスを与える）できることを示すのに一般的に機能しますか？そのようなものは、少なくともEXPのCHシミュレーションを提供しませんか？ だから、私の質問は2つあると思います：（1）この推論の連鎖は理にかなっていますか？（2）その場合、誰かがPPの暗黙の上限を「発見」できますか？ アーロン・スターリングによる編集：これをフロントページにぶつけ、賞金を追加します。これは私のお気に入りの質問の1つで、まだ答えがありません。
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問題を数えるための驚くべきアルゴリズム
（入力のサイズに関連して）指数関数的に多くのものをカウントすることを伴ういくつかのカウント問題がありますが、驚くべき多項式時間の正確な決定論的アルゴリズムを持っています。例は次のとおりです。 ホログラフィックアルゴリズムの動作の基礎となる、平面グラフ（FKTアルゴリズム）での完全一致のカウント。 グラフ内のスパニングツリーのカウント（キルヒホッフの行列ツリーの定理による）。 これらの例の両方で重要なステップは、特定のマトリックスの行列式を計算するためにカウントの問題を減らすことです。行列式自体はもちろん、指数関数的に多くのものの合計ですが、驚くべきことに多項式時間で計算できます。 私の質問は、行列式の計算に減らない問題を数えるために知られている「驚くほど効率的な」正確で決定論的なアルゴリズムはありますか？
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ある
多項式階層の最初のレベル（NPおよびco-NP）はPPにあり、ことを知っています。また、戸田の定理からことがわかります。P H ⊆ P P PPP⊆ PSPA CEPP⊆PSPACEPP \subseteq PSPACEPH⊆ PPPPH⊆PPPPH \subseteq P^{PP} PH⊆ PPPH⊆PPPH \subseteq PPPPPPPPPPPPPPPPPPH⊈ PPPH⊈PPPH \nsubseteq PPPP⊈ PHPP⊈PHPP \nsubseteq PH この質問は非常に簡単ですが、それに対処するリソースが見つかりません。 私は尋ねた。このトピックについての詳細学ぶ前に演算オーバーフローに関連するがあまり具体的な質問を。 ここでは、多少関連（しかし異なる）された質問：ある？c o NP＃P= NP＃P= P＃PcoNP#P=NP#P=P#PcoNP^{\#P}=NP^{\#P}=P^{\#P} 更新：ここでNoam Nisanの質問を見てください：PPのPHの詳細？
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整数の因子の数を数えるのはどれくらい難しいですか？
整数所与の長さのビットを、どのようにハードそれを出力するの素因数の数（または因子の代わりに数）であり、？NNNnnnNNN 素因数分解を知っていれば、これは簡単です。ただし、素因数の数または一般的な因子の数を知っていた場合、実際の素因数分解をどのように見つけるかは明確ではありません。NNN この問題は研究されていますか？素因数分解を見つけることなくこの問題を解決する既知のアルゴリズムはありますか？ この質問は、好奇心と部分的にmath.SE質問によって動機付けられています。
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「XがNP完全」とは、「＃Xが#P完全」を意味しますか？
ましょ NPで表すA（決定）問題をし、＃聞かせXは、そのカウントバージョンを表します。XXXXXX どのような条件下で「XはNP完全」であることが知られています ⟹⟹\implies 「#Xは＃P-complete」ですか？ もちろん、par約的な削減の存在はそのような条件の1つですが、これは明白であり、私が認識している唯一のそのような条件です。最終的な目標は、条件が不要であることを示すことです。 正式に言えば、一つは計数問題＃1で始まる必要があり関数によって定義されるF ：{ 0 、1 } * → N、次に決定問題を定義Xを上に入力された文字列SとしてF （S ）≠ 0？XXXf:{0,1}∗→Nf:{0,1}∗→Nf : \{0,1\}^* \to \mathbb{N}XXXsssf(s)≠0f(s)≠0f(s) \ne 0
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与えられた2つの文字列を受け入れるDFAはいくつですか？
整数とアルファベット修正します。定義上のすべての有限状態オートマトンの集合体であることを我々が検討している状態1を開始するとの状態のすべてのDFA（単に接続されていない、最小限の、または非縮退もの）。したがって、。Σ = { 0 、1 } D F A （N ）NnnnΣ={0,1}Σ={0,1}\Sigma=\{0,1\}DFA(n)DFA(n)DFA(n)nnn|DFA(n)|=n2n2n|DFA(n)|=n2n2n|DFA(n)| = n^{2n}2^n ここで、2つの文字列を検討しをと両方を受け入れる要素の数として定義します。 K （X 、Y ）D F A （N ）x,y∈Σ∗x,y∈Σ∗x,y\in\Sigma^*K(x,y)K(x,y)K(x,y)DFA(n)DFA(n)DFA(n) yxxxyyy 質問：計算の複雑さは何ですか？K(x,y)K(x,y)K(x,y) この質問は、機械学習に影響を及ぼします。 編集：この質問に恩恵があるので、私は定式化でもう少し正確であると思います。以下のために、聞かせての集合体である上で定義されたとおり、オートマトン。以下のため、定義でオートマトンの数であることが受け入れるの両方と。質問：は時間で計算できますか？D F A （N ）N 2 、N 2 、N X 、Y ∈ { 0 、1 } * K N（X 、Y ）D F A （N ）n≥1n≥1n\ge1DFA(n)DFA(n)DFA(n)n2n2nn2n2nn^{2n}2^nx,y∈{0,1}∗x,y∈{0,1}∗x,y\in\{0,1\}^*Kn(x,y)Kn(x,y)K_n(x,y)DFA(n)DFA(n)DFA(n) …
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リラックスしたカウントはいつ難しいですか？
次のように我々は加重着色料をカウントすることにより、適切な着色料を数えるの問題を緩和と仮定します。すべての適切な着色は体重1取得し、すべての不正発色が体重取得、いくつかの定数であり、同じ色に着色されているエンドポイントとエッジの数です。 0になり、これは、多くのグラフのために懸命にある適切な着色料を数えるに低減します。cが1の場合、すべての色は同じ重みを取得し、問題は簡単です。を乗算したグラフの隣接行列のスペクトル半径が未満の場合cvcvc^vcccvvvccc−log(c)/2−log⁡(c)/2-\log(c)/21−ϵ1−ϵ1-\epsilon、この合計は収束保証付きの信念伝播によって近似できるため、実際には簡単です。特定の計算ツリーは相関の減衰を示し、したがって保証された近似のための多項式時間アルゴリズムを可能にするため、理論的にも簡単です-Tetali、（2007） 私の質問は、グラフの他のどのような特性がローカルアルゴリズムにとってこの問題を難しくしているのでしょうか？わずかな範囲のしか対処できないという意味で難しい。ccc 編集09/23：これまでのところ、このクラスの問題に対して2つの決定論的多項式近似アルゴリズム（WeitzのSTOC2006論文の派生物と、近似計算のためのGamarnikの「キャビティ拡張」アプローチの派生物）に遭遇しました。グラフ上を歩くことを避けます。スペクトル半径は、この分岐係数の上限であるために上がります。質問はそれです-それは良い見積もりですか？自己回避歩行の分岐因子が制限され、通常の歩行の分岐因子が制限なく成長する一連のグラフを作成できますか？ 編集 10/06 ：Allan Slyによるこの論文（FOCS 2010）は関連性があるようです...結果は、自己回避歩行の無限ツリーの分岐因子が、カウントが困難になるポイントを正確にキャプチャすることを示唆しています。 編集10/31：アラン・ソカル予想（「多変量トゥッテ多項式」のp.42）は、maxmaxflow（最大st flow over）に関して線形である色彩多項式のゼロのない領域の半径に上限があることすべてのペアs、t）。適切な色の数が0に近づくと、長距離の相関関係が現れるため、これは関連しているようです。
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#P = FPの結果
#P = FPの結果はどれですか？ 私は実用的および理論的な結果に興味があります。 実用的な観点から、私は特に人工知能の結果に興味があります。 論文や本へのポインタは大歓迎です。 #P = FPがP = NPを意味するとは言わないでください、私はすでにそれを知っています。また、言わないでください「の時間におけるアルゴリズムの実行されている場合は実用的な影響が生じない、αは、宇宙での電子の数があるが、」Ω(nα)Ω(nα)\Omega(n^{\alpha})αα\alpha：それを前提とするために私を許可し、決定論的多項式時間アルゴリズムの場合＃P-complete問題が存在する場合、その実行時間は "clement"（など）になります。O(n2)O(n2)O(n^2)
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完全な一致を認めるサブグラフを誘発するカウントの計算の複雑さ
無向と重み付けされていないグラフ所与と偶数整数、頂点のカウントセットの計算の複雑さは何であるようにとの部分グラフ頂点集合に制限はは完全な一致を認めますか？複雑さは＃P-completeですか？この問題の参照はありますか？| S | = k G SG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)S ⊆ VkkkS⊆VS⊆VS\subseteq V|S|=k|S|=k|S|=kGGGSSS 定数kの場合、もちろん問題は簡単です。kkkサイズkのすべての部分グラフをkkk時間(|V|k)(|V|k){|V| \choose k}。また、問題は完全一致の数を数えることとは異なることに注意してください。その理由は、完全な一致を認める頂点のセットには、複数の完全な一致がある場合があるためです。 問題を述べる別の方法は次のとおりです。マッチングは、k頂点に一致する場合、kマッチングと呼ばれます。二つのマッチングM及びM「は、頂点のセットにマッチした場合``頂点セット非不変である' M及びM」は同一ではありません。頂点セット非不変kマッチングの総数をカウントします。kkkkkkMMMM′M′M'MMMM′M′M'kkk
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パーマネントを使用して2者間でない完全一致をカウントするための直接/自然な削減はありますか？
二部グラフで完全な一致の数を数えることは、パーマネントを計算するためにすぐに削減できます。非二部グラフで完全な一致を見つけることはNPにあるため、非二部グラフからパーマネントへのいくつかの縮約が存在しますが、SATへのクックの縮約を使用し、次にヴァリアントの定理を使用して、永久的。 非二部グラフGからパーマ（A ）= Φ （G ）のマトリックスA = f （G ）への効率的で自然な縮約は、既存の高度に最適化されたものを使用して完全なマッチングをカウントする実際の実装に役立ちますパーマネントを計算するライブラリ。fffGGGA = f（G ）A=f（G）A = f(G)パーマ（A ）= Φ （G ）パーマ⁡（A）=Φ（G）\operatorname{perm}(A) = \Phi(G) 更新：同じ数の完全一致でO （n 2）個以下の頂点を持つ任意のグラフを2部グラフHに取る効率的に計算可能な関数を含む回答の報奨金を追加しました。GGGHHHO（n2）O（n2）O(n^2)
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素数計算関数は＃P-completeですか？
リコールπ（n ）π(n)\pi(n)素数の数≤ n個≤n\le nでプライムカウント機能。「PRIMES in P」により、π（n ）π(n)\pi(n)計算は#Pになります。問題は＃P-completeですか？または、おそらく、この問題が#P完全ではないと信じる複雑な理由がありますか？ PS誰かが問題を研究し、これを証明/反証/推測したにちがいないので、私はこれが少し素朴であることを認識していますが、文献で答えを見つけることができないようです。なぜ私が気になるのか興味があるなら、こちらをご覧ください。
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ハードカウントバージョンの簡単な問題
ウィキペディアは、カウントバージョンが難しいのに対し、決定バージョンは簡単な問題の例を提供します。これらのいくつかは、完全な一致を数え、222 -SAT の解の数とトポロジカルソートの数を数えています。 他の重要なクラス（格子、木、数論などの例）はありますか？そのような問題の大要はありますか？ 問題には多くの種類がありますPPP持っている#P#P\#P -hardカウントバージョンでは。 自然問題のバージョンがあるPPPより完全に理解または一般的な二部完全一致よりも簡単である（上の詳細を含めてください理由簡単ようであるとして証明可能の最も低いクラスでNCNCNC -hierarchyなど）いくつかの他にそのカウントバージョンれる特定の単純な二部グラフのための（例えば、数論、格子など）または少なくとも領域#P#P\#P -hard？ 格子、ポリトープ、ポイントカウント、数論からの例は高く評価されます。
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硬度の相転移の例
一部の値p_0、p_1について、場合は「簡単に」、p = p_1の場合は「難しい」実数値パラメーターpでパラメーター化された問題があるとします。p=p0p=p0p=p_0p=p1p=p1p=p_1p0p0p_0p1p1p_1 1つの例は、グラフのスピン構成をカウントすることです。重み付きの適切なカラーリング、独立したセットを数えるオイラー部分グラフは、ハードコアモデル、ポッツモデル、およびイジングモデルのパーティション関数にそれぞれ対応します。単純なMCMCの場合、硬度の相転移は、混合時間が多項式から指数関数にジャンプするポイントに対応します（Martineli、2006）。 別の例は、確率モデルの推論です。与えられたモデルを、組み合わせと「すべての変数は独立している」モデルとすることにより、「単純化」します。以下のためにの問題はため、自明である、それはどこかの間では難治性であり、硬度のしきい値嘘。最も一般的な推論方法では、この方法が収束に失敗すると問題が難しくなり、発生するポイントは特定のギブス分布の位相遷移（物理的な意味）に対応します（Tatikonda、2002）。1−p1−p1-ppppp=1p=1p=1p=0p=0p=0 連続パラメータが変化する際の硬度の「ジャンプ」の他の興味深い例は何ですか？ 動機：グラフタイプまたはロジックタイプ以外の硬度の別の「次元」の例を見る
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#Pの2つの関数による除算
してみましょうFFF、そのようなことを、整数値の関数であるである。ということにしていである？これが常に成り立つとは考えにくい理由はありますか？知っておくべき参考文献はありますか？2F2F2F#P#P\#PFFF#P#P\#P やや意外にも、この状況では機能のために、（はるかに大きい定数で）思い付いた用は古い未解決の問題です。 FFFF∈?#PF∈?#PF \in? \#P 注：私は紙M.荻原、L. Hemachandra、を認識してい実行可能な閉鎖性のための複雑性理論の関連部門ごとの2の問題が研究されている（THM 3.13を参照してください）。ただし、フロア演算子を介してすべての機能の部門を定義するため、問題は異なります。これにより、パリティの問題をいくつか簡単に減らすことができました。
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