完全な一致を認めるサブグラフを誘発するカウントの計算の複雑さ

無向と重み付けされていないグラフ所与と偶数整数、頂点のカウントセットの計算の複雑さは何であるようにとの部分グラフ頂点集合に制限はは完全な一致を認めますか？複雑さは＃P-completeですか？この問題の参照はありますか？ $G=(V,E)$ $k$ $S\subseteq V$ $|S|=k$ $G$ $S$

定数場合、もちろん問題は簡単です。 $k$ サイズすべての部分グラフを $k$ 時間 ${|V| \choose k}$ 。また、問題は完全一致の数を数えることとは異なることに注意してください。その理由は、完全な一致を認める頂点のセットには、複数の完全な一致がある場合があるためです。

問題を述べる別の方法は次のとおりです。マッチングは、頂点に一致する場合、マッチングと呼ばれます。二つのマッチング及び、頂点のセットにマッチした場合``頂点セット非不変である' 及び同一ではありません。頂点セット非不変マッチングの総数をカウントします。 $k$ $k$ $M$ $M'$ $M$ $M'$ $k$

cc.complexity-theory co.combinatorics counting-complexity

— ハ
ソース

場合

k = \log n

$k=\log n$ 、そのような部分集合の数である

(\binom{| V |}{\log n}) \leq n^{\log n}

$\binom{|V|}{\log n}\leq n^{\log n}$ 、およびサブセットによって誘導されるグラフはTUTTEのを使用して完全な整合性を有しているかどうかをチェック特性評価には

O (2^{\log n}) = O (n)

$O(2^{\log n})=O(n)$ 時間かかるため、指数時間仮説が間違っていない限り、NP完全である可能性は低いです。したがって、興味深いケースは

k = θ (\frac{n}{\log n})

$k=\theta(\frac{n}{\log n})$ 場合です。この場合、＃P完全性を探している場合、単純なアプローチでは

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$ 時間かかります。

— サジンコロス

@Sajin Koroth：コメントの最後の文には従いません。たとえば、k =√nの場合、単純なアプローチには

2^{n^{Ω (1)}}

$2^{n^{\Omega(1)}}$ 時間かかり、これが＃P-completeであることを示す証拠は得られないと思います。

— 伊藤剛

@TsyoshiIto：はい、あなたは正しいです。「単純なアプローチが

時間かかるように

選択する」べきでした。

k

$k$

O (2^{n})

$O(2^n)$

— サジンコロス

@Sajin Koroth：単純なアプローチが

O (2^{n})

$O(2^n)$ 時間かかるようにkの値を選択する必要があるのはなぜですか？そうすることはおそらく害にはなりませんが、なぜそうする必要があるのかわかりません。

— 伊藤剛

この種のほとんどの問題は、「サイズkのサブグラフにどのようにプロパティXがあるのか」と思われます。難しいです。「エッジを持っている」というプロパティでさえ難しい（「エッジを持っている」は、決闘で「完全なグラフである」「エッジを持たない」を解決する... MAX CLIQUEを解決する）。これにより、「完全に一致している」ことも難しいと感じるようになりますが、現在、証拠を見つけるのは困難です。

— -bbejot

回答:

問題は＃P-completeです。次の論文の2ページ目の最後の段落から続きます。

CJ Colbourn、JS Provan、およびD. Vertigan、横マトロイド上のTutte多項式の計算の複雑さ、Combinatorica 15（1995）、no。1、1〜10。

http://www.springerlink.com/content/wk55t6873054232q/

— ハ
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この問題はFPTRASを認めています。これは、入力としてグラフ、パラメーター、および有理数およびを取得するランダム化アルゴリズムです。場合数である探している-vertexセット、次に数出力ように、そして時間内に、は計算可能な関数、 $\mathbb{A}$ $G$ $k\in \mathbb{N}$ $\epsilon >0$ $\delta \in (0,1)$ $z$ $k$ $\mathbb{A}$ $z'$

P (z^{'} \in [(1 - ϵ) z, (1 + ϵ) z]) \geq 1 - δ,

$\begin{equation} \mathbb{P}(z' \in [(1-\epsilon)z,(1+\epsilon)z]) \geq 1-\delta, \end{equation}$

f (k) \cdot g (n, ϵ^{- 1}, \log δ^{- 1})

$f(k)\cdot g(n,\epsilon^{-1},\log \delta^{-1})$

f

$f$

g

$g$ 多項式です。

これは、Thmから続きます。3.1 （Jerrum、Meeks 13）：グラフのプロパティが与えられた場合、上記と同じ入力を持つFPTRASがあり、それはセットのサイズに近似します。は、が計算可能で単調で、そのすべてのエッジ最小グラフがツリー幅に制限があることを条件とします。が完全一致を許可するグラフプロパティである場合、3つの条件はすべて成立します。 $\Phi$

{S \subseteq V (G) ∣ | S | = k \land Φ (G [S])},

$\begin{equation} \{S \subseteq V(G) \mid |S| =k \wedge \Phi(G[S])\}, \end{equation}$

Φ

$\Phi$

Φ

$\Phi$

— ラドゥ・カーティカピーン
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