問題を数えるための驚くべきアルゴリズム

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（入力のサイズに関連して）指数関数的に多くのものをカウントすることを伴ういくつかのカウント問題がありますが、驚くべき多項式時間の正確な決定論的アルゴリズムを持っています。例は次のとおりです。

ホログラフィックアルゴリズムの動作の基礎となる、平面グラフ（FKTアルゴリズム）での完全一致のカウント。
グラフ内のスパニングツリーのカウント（キルヒホッフの行列ツリーの定理による）。

これらの例の両方で重要なステップは、特定のマトリックスの行列式を計算するためにカウントの問題を減らすことです。行列式自体はもちろん、指数関数的に多くのものの合計ですが、驚くべきことに多項式時間で計算できます。

私の質問は、行列式の計算に減らない問題を数えるために知られている「驚くほど効率的な」正確で決定論的なアルゴリズムはありますか？

cc.complexity-theory counting-complexity big-picture

— アシュリー・モンタナロ
ソース

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ところで、さらに多くのカウントの問題は、行列式の計算に帰着します。#Lを含むクラスGapLの整数行列式は完全です。

— 5501

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次の問題が行列式の計算を減らすかどうかはわかりませんが、とにかくリストします。

1）ノードからノードまでのDAG内のパスの数をカウントします。しかし、これは驚くことではありません。単にがから到達可能かどうかを判断することはNLにあり、したがってDETにあります。カウントバージョンについてはわかりません。 $v_0$ $v_f$ $v_f$ $v_0$

2）境界のあるツリー幅の構造でMSOロジックで定義可能な問題の解決策の数を数える。たとえば、Courcelle、Arnborgなどの作品についての論文を参照してください。

$f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ $x$ $f(x)=1$ $U_f$ $|x\rangle|0\rangle$ $|x\rangle|f(x)\rangle$ $|1\rangle$ $U_fH^{\otimes n}|0\rangle|0\rangle$

— マテウス・デ・オリベイラオリベイラ
ソース

ありがとう-項目（2）と（3）は興味深いですが、どういうわけか私が探していたものとはまったく異なります。制限されたツリー幅の問題を数えることは、作業している構造が実際に多項式で制限されている特別な場合のようです。カウントするオブジェクトが「本当に」指数関数的に多い場合にもっと興味がありましたが、多項式時間で魔法のように数えることができます。

— アシュリーモンタナロ

それは、単項符号化を使用する場合、アルゴリズムが数値を書き込むためだけに指数関数的な時間を必要とすることを意味しませんか？この問題はバイナリエンコーディングを使用することで克服できる可能性がありますが、これは私にとってわかりにくいようです。

— アントニオヴァレリオミチェリバローネ

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@ Miceli-Barone、あなたが言うことは、数値を出力するほとんどすべてのポリタイムアルゴリズムに適用されます。最悪の場合、単項式では行列式自体がかなり大きくなります。

— ラファエル

\frac{(n + 1)^{\frac{n + 1}{2}}}{2^{n}}

$\frac{(n + 1)^{\frac{n+1}{2}}}{2^n}$

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Alexander Barvinokによる、多項式時間での合理的なポリトープ（次元が一定の場合）の格子点の数のカウント。

— 岡本義雄
ソース

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主なテクニックは何ですか？

— スレシュヴェンカト

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短い生成関数。次の説明記事は、より多くのアイデアを与えてくれます。 arxiv.org/abs/math/0506466

— 岡本良夫

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Holantフレームワークには、平面グラフのマッチゲートを経由する以外にも、扱いやすい（重要ではない）理由がいくつかあります。

1）フィボナッチゲート

2）アフィン署名のセット。

3）非負の加重#CSP

...いくつか例を挙げます。

また、アルゴリズムの一部は行列式計算を使用しますが、BEST定理は有向グラフのオイラー回路の数をカウントするための多項式時間アルゴリズムを提供します。

— タイソン・ウィリアムズ
ソース