タグ付けされた質問 「graph-colouring」

2
グラフの選択可能性を下限にするには、いくつの異なる色が必要ですか？
頂点を色のセットにマッピングするすべての関数、すべての頂点に対してような色割り当てがある場合、グラフは選択可能（ -list- colorableとも呼ばれます）です。、すべてのエッジに対して。kkkkkkfffkkkcccvvvc(v)∈f(v)c(v)∈f(v)c(v)\in f(v)vwvwvwc(v)≠c(w)c(v)≠c(w)c(v)\ne c(w) ここで、グラフが選択できないと仮定します。つまり、頂点から有効な色の割り当てを持たない個の色のタプルまでの関数が存在します。私が知りたいのは、必要な色の合計はどれくらいですか？どれくらい小さくできますか？異なる色のみを使用する色付け不可能なを見つけることが保証されるような数（依存しないますか？GGGkkkfffkkkccc∪v∈Gf(v)∪v∈Gf(v)\cup_{v\in G}f(v)N(k)N(k)N(k)GGGfffN(k)N(k)N(k) CSとの関連性があれば、つまり存在し、我々がテストすることができる定数の-choosability単独指数時間（ちょうどすべての試みを\ binom {N（K）}、{K}を^ n個の選択肢F、及びそれぞれについて、時間内に色付けできることをチェックしますk ^ nn ^ {O（1）}）。そうでなければ、n ^ {kn}のようなより急速に成長するものが必要になるかもしれません。N(k)N(k)N(k)kkkkkk(N(k)k)n(N(k)k)n\binom{N(k)}{k}^nfffknnO(1)knnO(1)k^n n^{O(1)}nknnknn^{kn}
17
四色定理を暗示する推測
4色定理（4CT）は、すべての平面グラフが4色付け可能であると述べています。[Appel、Haken 1976]と[Robertson、Sanders、Seymour、Thomas 1997]によって与えられた2つの証明があります。これらの証明は両方ともコンピューター支援であり、非常に威圧的です。 グラフ理論には、4CTを暗示するいくつかの推測があります。これらの推測の解決には、おそらく4CTの証拠のより良い理解が必要です。そのような推測の1つを次に示します。 推測：平面グラフ、Cを色のセット、f ：C → Cを固定小数点の自由なインボリューションとします。ましょL = （LのV：V ∈ V （Gが））ようなものでGGGCCCf：C→ Cf:C→Cf : C \rightarrow CL = （Lv：V ∈ V（G ））L=(Lv:v∈V(G))L = (L_v : v \in V(G)) すべてのためのV ∈ Vと| Lv| ≥4|Lv|≥4|L_v| \geq 4V ∈ Vv∈Vv \in V もし次いで、F （α ）∈ LのVすべてのためのV ∈ Vすべてについて、α ∈ C。α ∈ Lvα∈Lv\alpha …
6
グリッド
アップデート：閉塞セット（着色可能とuncolorableグリッドサイズ間すなわちN×Mの「障壁」）の全ての単色矩形フリー4 -着色のためには、現在されて知られています。 誰もが5色を試してみませんか？;） 次の質問はラムジー理論から生じます。 n行m列のグリッドグラフの色を考えてみましょう。A は、同じ色の4つのセルが長方形の角として配置されるたびに存在します。例えば、（0 、0 ）、（0 、1 ）、（1 、1 ）、及び（1 、0 ）、それらが同じ色を有する場合単色矩形を形成します。同様に、（2 、2 ）、（2 、6 ）、kkknnnmmmmonochromatic rectangle(0,0),(0,1),(1,1),(0,0),(0,1),(1,1),(0,0), (0,1), (1,1),(1,0)(1,0)(1,0)及び（3 、2 ）同じ色で着色場合、モノクロ矩形を形成します。(2,2),(2,6),(3,6),(2,2),(2,6),(3,6),(2,2), (2,6), (3,6),(3,2)(3,2)(3,2) 質問：単色の長方形を含まない17行17列のグリッドグラフに色がありますか？その場合、明示的な色付けを提供します。444171717171717 既知の事実： 行列 17である 4単色矩形なし-colorableが、公知の着色スキームはに延びるように表示されない 17行列 17ケース。（ 17 x 17を決定するための赤いニシンである可能性が高いため、既知の 16 x 17のカラーリングは省略しています。） 161616171717 444171717171717161616171717171717171717行列 19であるNOT 4単色矩形なし-colorable。 181818191919 444 x 18および 18 x 18も不明なケースです。これらへの回答も興味深いでしょう。 171717181818181818181818 …
1
グラフの色付けの複雑さ
がカラーリング数d = χ （G ）のグラフであると仮定します。アリスとボブの間の次のゲームを考えてみましょう。各ラウンドで、アリスは頂点を選択し、ボブはこの頂点に対して{ 1 、… 、d − 1 }の色で答えます。単色のエッジが検出されると、ゲームは終了します。ましょX （Gが）両方のプレイヤーによって最適なプレイの下でゲームの最大の長さ（アリスはできるだけゲームを短くしたい、ボブはできる限りそれを遅らせるために望んでいます）。たとえば、X （K n）= nGGGd=χ(G)d=χ(G)d = \chi(G){1,…,d−1}{1,…,d−1}\{1,\ldots,d-1\}X(G)X(G)X(G)X(Kn)=nX(Kn)=nX(K_n) = nおよび。X(C2n+1)=Θ(logn)X(C2n+1)=Θ(log⁡n)X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n) このゲームは知られていますか？
3
リラックスしたカウントはいつ難しいですか？
次のように我々は加重着色料をカウントすることにより、適切な着色料を数えるの問題を緩和と仮定します。すべての適切な着色は体重1取得し、すべての不正発色が体重取得、いくつかの定数であり、同じ色に着色されているエンドポイントとエッジの数です。 0になり、これは、多くのグラフのために懸命にある適切な着色料を数えるに低減します。cが1の場合、すべての色は同じ重みを取得し、問題は簡単です。を乗算したグラフの隣接行列のスペクトル半径が未満の場合cvcvc^vcccvvvccc−log(c)/2−log⁡(c)/2-\log(c)/21−ϵ1−ϵ1-\epsilon、この合計は収束保証付きの信念伝播によって近似できるため、実際には簡単です。特定の計算ツリーは相関の減衰を示し、したがって保証された近似のための多項式時間アルゴリズムを可能にするため、理論的にも簡単です-Tetali、（2007） 私の質問は、グラフの他のどのような特性がローカルアルゴリズムにとってこの問題を難しくしているのでしょうか？わずかな範囲のしか対処できないという意味で難しい。ccc 編集09/23：これまでのところ、このクラスの問題に対して2つの決定論的多項式近似アルゴリズム（WeitzのSTOC2006論文の派生物と、近似計算のためのGamarnikの「キャビティ拡張」アプローチの派生物）に遭遇しました。グラフ上を歩くことを避けます。スペクトル半径は、この分岐係数の上限であるために上がります。質問はそれです-それは良い見積もりですか？自己回避歩行の分岐因子が制限され、通常の歩行の分岐因子が制限なく成長する一連のグラフを作成できますか？ 編集 10/06 ：Allan Slyによるこの論文（FOCS 2010）は関連性があるようです...結果は、自己回避歩行の無限ツリーの分岐因子が、カウントが困難になるポイントを正確にキャプチャすることを示唆しています。 編集10/31：アラン・ソカル予想（「多変量トゥッテ多項式」のp.42）は、maxmaxflow（最大st flow over）に関して線形である色彩多項式のゼロのない領域の半径に上限があることすべてのペアs、t）。適切な色の数が0に近づくと、長距離の相関関係が現れるため、これは関連しているようです。
2
シフトチェーンは2色可能ですか？
用A ⊂ [ N ]A⊂[n]A\subset [n]意味によってI I Tの時間の最小要素A。a私aia_i私t hithi^{th}AAA 二人kkk -elementセット、A 、B ⊂ [ N ]A,B⊂[n]A,B\subset [n]、我々は、と言うA ≤ BA≤BA\le Bあれば、私は ≤ bはIをすべてのための私。a私≤ B私ai≤bia_i\le b_i私ii kkk -uniformのハイパーグラフH ⊂[N]H⊂[n]{\mathcal H}\subset [n]と呼ばれるシフト鎖任意ハイパーエッジのために、場合A 、B ∈ HA,B∈HA, B \in {\mathcal H}、我々が持っているA ≤ BA≤BA\le B又はB ≤ AB≤AB\le A。（したがって、シフトチェーンには最大でk （n − k ）+ 1k(n−k)+1k(n-k)+1ハイパーエッジがあります。） ハイパーエッジが単色でないように頂点を2色で着色できる場合、ハイパーグラフ HH{\mathcal H}は2色可能です（またはプロパティBがあります）。 …
5
グラフが
この質問について少し推論しながら、グラフが彩色に失敗する可能性のあるさまざまな理由をすべて特定しようとしました。これらは、私がこれまでに特定できた唯一の2つの理由です。kG = （VG、EG）G=(VG,EG)G = (V_G,E_G)kkk k + 1GGGは、サイズクリークが含まれています。これは明らかな理由です。k + 1k+1k+1 部分グラフが存在するの次のステートメントの両方が真であるように：GH= （VH、EH）H=(VH,EH)H = (V_H, E_H)GGG k − 1HHHは色付け可能ではありません。k − 1k−1k-1 xはG Hは、xはHを∃ のx ∈ VG− VH ∀ Y∈ VH { x 、y} ∈ EG∃x∈VG−VH ∀y∈VH {x,y}∈EG\exists x \in V_G - V_H\ \forall y \in V_H\ \{x,y\} \in E_G。換言すれば、ノードが存在するにおけるなくにおけるように、各ノードに接続されている。バツxxGGGHHHバツxxHHH 上記の2つの理由をルールとして見ることができます。それらを再帰的に適用することにより、クリークを含まない非着色可能グラフを作成する2つの方法は次のとおりです。k + …
2
平面グラフの着色
すべての内部面が三角形である平面グラフのセットを考えます。奇数次の内部ポイントがある場合、グラフを3色にすることはできません。すべての内部ポイントに均等の度合いがある場合、常に3色にすることができますか？理想的には小さな反例が欲しい。
1
このエッジカラーリング問題の複雑さは何ですか？
最近、私は以下のエッジカラーリングのバリエーションに遭遇しました。 接続された無向グラフ与えられ、また制約を満たしながら色の最大数を使用してエッジのカラーリングを見つけ、そのすべての頂点のための、にエッジ入射Vの最大2色での使用。vvvvvv 私の最初の推測は、問題がNP困難であるということです。グラフ彩色問題の古典的なNP困難な証明は、ほとんど3SATからの削減によるものです。しかし、私の意見では、これらの証明はこの問題には役立ちません。なぜなら、頂点に入射するエッジは同じ色で着色できるため、グラフに論理コンポーネントを構築できないからです。 この問題はNP困難なのでしょうか？はいの場合、証拠とは何ですか？証拠を微調整できない場合、この問題の複雑さを判断する方法はありますか？ ありがとう！
3
2D長方形の色付け問題の定数因子近似アルゴリズムはありますか？
ここで考慮している問題は、よく知られている間隔カラーリング問題の拡張です。間隔の代わりに、辺が軸に平行な長方形を考えます。目的は、重複する2つの長方形に異なる色が割り当てられるように、最小数の色を使用して長方形に色を付けることです。 この問題はNP困難であることが知られています。Xin Han、Iwama Kazo、Rolf Klein、Andrezej Lingas（ボックスグラフ上の最大独立セットと最小頂点カラーリングの近似）は、O（log n）近似を与えました。より良い近似アルゴリズムはありますか？ 区間の色付けの問題は、左端に応じて区間を考慮することにより、最初に適合したアルゴリズムによって多項式時間で解かれることがわかっています。ただし、間隔が任意の順序で表示される場合、ファーストフィットオンラインアルゴリズムは8競争力があります。 長方形の色付け問題に対する最適アルゴリズムのパフォーマンスはどうですか？長方形が左（垂直）辺に従って表示されると、最初に適合するアルゴリズムはどうなりますか？ これに関する助けを事前に感謝します。
1
完全グラフが完全と呼ばれるのはなぜですか？
申し訳ありませんが、これは素朴な質問ですが、Bondy-Murty、Diestel、Westなどの主要な教科書には正当な理由が見つかりませんでした。完全グラフには多くの美しい特性がありますが、それらが完全と呼ばれる単一の理由は何ですか？それとも、Bergeによる単なる美的好みですか？
3
平面グラフのエッジカラーリングの複雑さ
3次グラフの3エッジのカラーリングは完全です。4色の定理は、「すべての立方平面ブリッジレスグラフは3エッジのカラーリング可能」に相当します。NPNPNP 立方平面グラフの3エッジカラーリングの複雑さは何ですか？ また、最大次数 {4,5}の平面グラフでは、 -edge カラーリングは -hardであると推測されます。△Δ\DeltaNPNPNPΔ ∈Δ∈\Delta \in この推測の解決に向けた進展はありましたか？ マレク・クロバックと西関貴雄。平面グラフのエッジカラーリングアルゴリズムの改善。Journal of Algorithms、11：102-116、1990
1
これらの着色ゲームは解決されましたか？
「いくつかのカラーリングゲームの複雑さについて」の論文で、Bodlaenderは、いくつかのグラフカラーリングゲームでプレイヤー1または2が勝利戦略を持っているかどうかを判断する複雑さについて、いくつかの未解決の質問をしています。誰かが解決したかどうか知っていますか？ 1）1つのゲームで、2人のプレーヤーが交互にグラフの1つの頂点を選択し、固定された有限セットの色で適切に色付けします。敗者は、頂点に色を付けることができない最初のプレイヤーです。シェーファーの論文では、1色でpspace-completeであることが示されており、Bodlaenderは2色でpspace-completeであることを示していますが、それ以上の色では答えがありません。まだ開いていますか？ 2）別のバリエーションでは、頂点の番号は1..nです。プレイヤーのターンで、彼は、まだ色付けされていない最も小さい番号の頂点を適切に色付けしなければなりません。繰り返しますが、彼らは固定セットの色を使用しており、敗者は自分の頂点に色を付けることができない最初のプレイヤーです。Bodlaenderは、一般的なグラフに対してpspace完全であることを示しています。彼は誰が木で勝つかを尋ねます、それは知られていますか？ ありがとう
2
色彩数とベクトル色数の間にギャップがある小さなグラフ？
私は小さなグラフを探していそのベクトル色数色数未満であるχ V（G ）&lt; χ （G ）。GGGχv（G ）&lt; χ （G ）χv（G）&lt;χ（G）\chi_v(G)<\chi(G) （ベクトル色番号有するQを割り当てがある場合、X ：V → Rと D。隣接する頂点に関連付けられた直感的ベクターは遠く離れている必要があり、⟨ X （V ）、X （W ）⟩ ≤ - 1 /（q − 1 ）。たとえば、q = 3の場合、三角形の頂点で十分です。）GGGqqqx ：V→ Rdバツ：V→Rdx\colon V \rightarrow \mathbf R^d⟨ X （V ）、X （W ）⟩ ≤ - 1 /（Q− 1 ）⟨バツ（v）、バツ（w）⟩≤−1/（q−1）\langle x(v), x(w)\rangle \leq -1/(q-1)q= …
4
有界度を持つグラフの色数を近似する硬度
有界度のあるグラフの頂点カラーリングの硬度結果を探しています。 グラフを考えると、我々は、いずれかのことを知っているε &gt; 0、それはおおよそに難しいχ （G ）の要因の中| V | NP = ZPP [ 1 ]でない限り1 - ϵ。しかし、Gの最大次数がdで区切られている場合はどうでしょうか？フォームのいずれかの硬度比があるD 1 - ε（いくつかのためにε）このケースでは？G(V,E)G(V,E)G(V,E)ϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon>0χ(G)χ(G)\chi(G)|V|1−ϵ|V|1−ϵ|V|^{1-\epsilon}NP=ZPPNP=ZPP\textit{NP}=\textit{ZPP}GGGdddd1−ϵd1−ϵd^{1-\epsilon}ϵϵ\epsilon 簡単な質問は、エッジサイズがで区切られている場合のハイパーグラフのエッジ色数を近似する難しさです。この場合、d 1 − ϵの硬度比を期待できますか？（いずれかのために、と言うε &gt; 0）dddd1−ϵd1−ϵd^{1-\epsilon}ϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon >0 ご清聴ありがとうございました！
弊社のサイトを使用することにより、あなたは弊社のクッキーポリシーおよびプライバシーポリシーを読み、理解したものとみなされます。
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.