タグ付けされた質問 「ramsey-theory」

アップデート：閉塞セット（着色可能とuncolorableグリッドサイズ間すなわちN×Mの「障壁」）の全ての単色矩形フリー4 -着色のためには、現在されて知られています。 誰もが5色を試してみませんか？;） 次の質問はラムジー理論から生じます。 n行m列のグリッドグラフの色を考えてみましょう。A は、同じ色の4つのセルが長方形の角として配置されるたびに存在します。例えば、（0 、0 ）、（0 、1 ）、（1 、1 ）、及び（1 、0 ）、それらが同じ色を有する場合単色矩形を形成します。同様に、（2 、2 ）、（2 、6 ）、kkknnnmmmmonochromatic rectangle(0,0),(0,1),(1,1),(0,0),(0,1),(1,1),(0,0), (0,1), (1,1),(1,0)(1,0)(1,0)及び（3 、2 ）同じ色で着色場合、モノクロ矩形を形成します。(2,2),(2,6),(3,6),(2,2),(2,6),(3,6),(2,2), (2,6), (3,6),(3,2)(3,2)(3,2) 質問：単色の長方形を含まない17行17列のグリッドグラフに色がありますか？その場合、明示的な色付けを提供します。444171717171717 既知の事実： 行列 17である 4単色矩形なし-colorableが、公知の着色スキームはに延びるように表示されない 17行列 17ケース。（ 17 x 17を決定するための赤いニシンである可能性が高いため、既知の 16 x 17のカラーリングは省略しています。） 161616171717 444171717171717161616171717171717171717行列 19であるNOT 4単色矩形なし-colorable。 181818191919 444 x 18および 18 x 18も不明なケースです。これらへの回答も興味深いでしょう。 171717181818181818181818 …

37 co.combinatorics  puzzles  open-problem  ramsey-theory  graph-colouring 

Ramsey番号の定義は次のとおりです。 LET 少なくともためのすべてのグラフような正の数である上のクリークのいずれか含ま頂点または上の安定集合頂点を。R （a 、b ）R（a、b）R(a,b)R （a 、b ）R（a、b）R(a,b)aaabbb Ramsey Numbersの拡張に取り組んでいます。この研究には理論的な興味がありますが、これらの数字の動機を知ることは重要です。より具体的には、ラムジー数の（理論的または実用的な）応用を疑問に思っています。たとえば、Ramsey番号を使用する現実の問題の解決方法はありますか？または同様に、ラムジー数に基づいたいくつかの定理の証拠はありますか？

13 reference-request  co.combinatorics  ramsey-theory 

分散アルゴリズムの下限を証明するさまざまな手法を探っているうちに、Ramseyの定理の次のバリアントにアプリケーションが存在する可能性があることがわかりました。 パラメーター：、K、nが与えられ、次にNが十分に大きくなるように選択されます。用語：mサブセットは、サイズmのサブセットです。kkkKKKnnnNNNmmmmmm LET 。A={1,2,...,N}A={1,2,...,N}A = \{1,2,...,N\} してみましょうすべてで構成するk個の-subsets A。BBBkkkAAA してみましょうすべてで構成されてK用の-subsets B。CCCKKKBBB 着色割り当てるのCします。f:C→{0,1}f:C→{0,1}f\colon C \to \{0,1\}CCC 今ラムジーの定理（ハイパー版）は、我々が選択したどんなにと言う、そこにある単色のn -subset B "のBは：すべてのKの-subsets Bは「同じ色を持っています。fff nnnB′B′B'BBBKKKB′B′B' 私はさらに一歩進み、単色見つけたい -subset A 'のAを次の場合B ' ⊂ Bが全てから成るk個の-subsets A 'は、すべてのK個の-subsets Bは、「同じ色を有しています。nnnA′A′A'AAAB′⊂BB′⊂BB' \subset BkkkA′A′A'KKKB′B′B' これは本当ですか、それとも偽ですか？名前はありますか？参考文献を知っていますか？ 些細な理由でそれが偽である場合、この主張に似たより弱い変形はありますか？

13 reference-request  co.combinatorics  ramsey-theory 

Hsien-Chih Changによって解決された私の以前の質問のフォローアップとして、ラムジーの定理の適切な一般化を見つけるための別の試みを次に示します。（前の質問を読む必要はありません。この投稿は自己完結型です。） パラメータ：整数が指定され、次にが十分に大きくなるように選択されます。用語：サブセットは、サイズサブセットです。N M M1 « D« K « N1≪d≪k≪n1 \ll d \ll k \ll nNNNメートルmmメートルmm LET。各サブセットに対して、色割り当てます。K S ⊂ BのF （S ）∈ { 0 、1 }B = { 1 、2 、。。。、N}B={1,2,...,N}B = \{1,2,...,N\}kkkS⊂ BS⊂BS \subset Bf（S）∈ { 0 、1 }f(S)∈{0,1}f(S) \in \{0,1\} 定義： F （S ）= F （S '）K S …

9 reference-request  co.combinatorics  ramsey-theory 

我々は、グラフがあるととサイズのクリークも含ま頂点もサイズの独立したセット例えば（用いて、このプロパティを満たす高い確率で）。のエッジの数が少なくとも、つまり、あまりに疎であるはずがないというのは本当ですか？N 3 ログ（N ）3 ログ（N ）G （N 、0.5 ）G N 2 / 100GGGnnn3log(n)3log⁡(n)3 \log(n)3log(n)3log⁡(n)3 \log(n)G(n,0.5)G(n,0.5)G(n,0.5)GGGn2/100n2/100n^2/100 より一般的には、そのようなグラフにある種の疑似ランダムプロパティがあるかどうかを知りたいです。

8 graph-theory  ramsey-theory