グリッド

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アップデート：閉塞セット（着色可能とuncolorableグリッドサイズ間すなわちN×Mの「障壁」）の全ての単色矩形フリー4 -着色のためには、現在されて知られています。

誰もが5色を試してみませんか？;）

次の質問はラムジー理論から生じます。

行列グリッドグラフの色を考えてみましょう。A は、同じ色の4つのセルが長方形の角として配置されるたびに存在します。例えば、及び、それらが同じ色を有する場合単色矩形を形成します。同様に、 $k$ $n$ $m$ monochromatic rectangle $(0,0), (0,1), (1,1),$ $(1,0)$ 及び同じ色で着色場合、モノクロ矩形を形成します。 $(2,2), (2,6), (3,6),$ $(3,2)$

質問：単色の長方形を含まない行列のグリッドグラフに色がありますか？その場合、明示的な色付けを提供します。 $4$ $17$ $17$

既知の事実：

行列である単色矩形なし-colorableが、公知の着色スキームはに延びるように表示されない行列ケース。（ xを決定するための赤いニシンである可能性が高いため、既知の xカラーリングは省略しています。） $16$ $17$ $4$ $17$ $17$ $16$ $17$ $17$ $17$
行列であるNOT単色矩形なし-colorable。 $18$ $19$ $4$
xおよび xも不明なケースです。これらへの回答も興味深いでしょう。 $17$ $18$ $18$ $18$

免責事項：Bill Gasarchには、この質問に対する肯定的な回答に対して289ドル（USD）の報奨金があります。彼のブログから彼に連絡できます。エチケットについてのメモ：私は彼が正しい答えのソースを知っていることを確認します（1つが発生した場合）。

Barriers IIでのrumpセッション中に彼は再びそれを持ち出し、私はそれを興味深いと思うので、ここで質問を転送しています（彼の知識がなくても、私は彼が気にすることを非常に疑いますが）。

— ダニエル・アポン
ソース

11

いくつかの参照/ポインタを追加したいだけです。ブログの投稿[1,2]は別として、ビットプレイヤーのブログ[3,4]の更新は詳細で洞察に富んでいます。これらすべての投稿について、かなりの議論がありました。[1]：blog.computationalcomplexity.org/2009/11/… [2]：blog.computationalcomplexity.org/2009/12/… [3]：bit-player.org/2009/the-17x17-challenge [4] ：bit-player.org/2009/17-x-17-a-nonprogress-report 注：コメントにマークダウンのフォーマットはありませんか？きれいなリンクを作成するにはどうすればよいですか？

— ニールダラ

これらは素晴らしいリンクです。ニールダラに感謝します！:)

— ダニエルアポン

同様に、これをここに投稿してくれたことに感謝します-私はこれについてしばらくの間開発を続けましたが、これは問題への関心を再燃させるはずです！

— ニールダラ

2

@Moron：はい、辺が軸に平行な長方形のみを考慮する必要があります。ところで、これには複雑性理論の角度もあります：Billは、m x nグリッドの部分的なk着色が与えられ、長方形なしで着色を完了することができるかどうかを決定することはNP完全であると推測しています。

— カート

2

問題の自己同型群は大きい：

解を保持する対称性、行と列のスワップ、色の順列、行の順列、列の順列を数えます。それは大きさであるどのように多くの異なる長方形の無サブセット知られている

？

2 \times 4! \times (17!)^{2} = 6.1 \times 10^{30}

$2\times 4! \times(17!)^2=6.1\times 10^{30}$

71, 72, 73, . . .

$71,72,73,...$

— mjqxxxx

23

おそらくこれを知っている人もいるかもしれませんが、17 x 17の色の問題はBernd SteinbachとChristian Posthoffによって解決されました。Gasarchのブログ投稿を参照してくださいここに。

— レフ・レイジン
ソース

8

また、18×18のグリッドは現在、唯一の「欠けているタイルは」21x12のグリッドである...単色の長方形ずに4-着色である

— マルツィオ・デ・BIASIは、

13

これは本当に質問に対する答えではありませんが、17x17 4色問題を4-CNF（SATソルバーの標準DIMACS形式）としてエンコードし、ここにアップロードしました。誰もが優れたSATソルバー（およびスーパーコンピューター）にアクセスできる場合は、何らかの進歩を遂げることができます。

注：格子点があれば、私のエンコーディングに、色割り当てられ、変数の値とる、及びさもなければ。 $(i,j)$ $c \in \{0,1,2,3\}$ $(17i+j+289c+1)$ $1$ $0$

— レフ・レイジン
ソース

3

驚くばかり。（私は確かにスーパーコンピューターにアクセスできます。）次のステップの実行数は、特定のマシンでこの事の実行時間を推定します。これが合理的な球場にあるかどうかは誰にもわかりませんが、私が見てきた別のアプローチです。さて、SATソルバーに関する最近の質問を見つけて、読み上げてみましょう... :)

— ダニエルアポン

私が考えていた問題が#SATにあったことが判明したので、cstheory.stackexchange.com / questions / 1719 /でSATソルバーに関する新しい質問を開始しました…

— Daniel

すばらしい-それがどうなるか教えてください！

— レフ・レイジン

4

@Lev、ランダムな更新：17x17のランタイムは、可能な限り最高のスーパーコンピューターと非常に高速なSATソルバーを使用しても、依然として天文学的です。プラス面：スーパーコンピューターでこれを標的にした方法で攻撃する理由の範囲内で表示されます。つまり、機能する正確な部分1着色を見つけます（すでにラトガースのBeth Kupkinによって手作業で行われます）。 -そこから機能する色など。欠点：「迅速な解決策」はありません。それは、スーパーコンピューターの実行の複数の段階を持つ長期プロジェクトでなければなりません

— ダニエルアポン

1

しかし、@ Joe！現在の最適な近似色の「リーダーボード」を次に示します。リーダーボード - シミュレートされたアニーリングは、近似色を見つけるのに非常にうまく機能するようです。

— ダニエルアポン

4

これも本当の答えではありません。確かにここでの問題は天文学的な数の対称性の存在であり、それは最高のスーパーコンピューターで最高のSATソルバーさえもだます。このような対称性は、ソリューションをソリューションに、非ソリューションを非ソリューションにマッピングします。この場合、おそらく非常に多くのほぼソリューション（つまり、少量の句を除くすべてを満たす割り当て）があり、それぞれが他の方法で取得できます。適切な対称性を適用します。したがって、ソルバーはこれらのほぼすべてのソリューションを試すのに膨大な時間を浪費しますが、ある意味ではそれらはすべて同じです。

対称性の活用（このペーパーを参照）は、この17x17のハードインスタンスを攻撃し、ある程度の進歩を遂げるために探索する手段になるはずです。誰かが既にそうしようとしたのだろうか。

— ジョルジオ・カメラニ
ソース

ねえ、それはかなり甘いです！:)それは前に見なかった。

— ダニエルアポン

@ダニエル：どういたしまして！;-）それが役に立てば幸い。

— ジョルジオカメラニ

Aloulの「Shatter」プログラムを17x17問題の複数のエンコーディングで使用し、CPU週をいくつかの異なるSATソルバーに投入しましたが、運がありませんでした。Walterが参照した論文は、実際には、彼が主題について書いた数十または何かの最初のものです。

— ジェイコミネク

3

繰り返しますが、本当の答えではありませんが、とにかく、この問題にグラフの色付けアルゴリズムを採用することについてのいくつかの考えがあります。

私たちは、設定されたことを言ってみましょうのグリッド位置のがある独立したセットのセットならばいくつかの長方形のすべての四隅が含まれていません。明白な方法で最大独立集合を定義します。現在、以下は同等のクレームです。 $I$ $I$

行列グリッドは色で着色できます。 $n$ $m$ $k$
行列グリッドは、独立したセットでカバーできます。 $n$ $m$ $k$
行列グリッドは、最大独立セットでカバーできます。 $n$ $m$ $k$

ここで興味深いのは、高速カバープロダクトアルゴリズムを使用して、独立したセットでのカバーを時間で実行できることです（Björklundet al。2007）。これは確かに些細なアルゴリズムよりも改善されていますが、はまだ乗り越えられないようです。 $\log k\ \text{poly}(nm)2^{nm}$ $k^{mn}$ $2^{289}$

すべての（最大）独立セットのファミリーが十分に優れた構造を持っている場合、カバープロダクトアルゴリズムを微調整することも可能です。

— ジャンヌ・H・コルホネン
ソース

クレーム3はクレーム2とどのように同等ですか？ちなみに、17x17の最大独立セットはサイズ74で、エリザベスクピンの論文（pdf）に示されています。そのようなセットは1つだけで、行と列の順列を個別としてカウントしません。

— 空集合

コンピューターサイエンスでは慣習的であるため、適切なスーパーセットは独立していないという意味で最大です。最大は、「可能な最大サイズ」を意味するときに通常使用される単語です。

— ヤンネH. Korhonen

その場合、最大独立セットのセットには、サイズ74セットのすべてのサブセットであるため、サイズ74の一意のセットの行/列の順列がすべて含まれ、サイズ73の独立セットは含まれません。私はそれがサイズ67から72に持っているかわからないんだけど

— 空集合

3

21x12グリッドは、単色の長方形なしでも4色にできます!!!

Gasarchのブログでの最後のBernd Steinbachの投稿を参照してください。

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

-4

これはビル・ブーリスです。こんにちは、ダン。私は、Ramseyの理論に従って4色なしを示す適切な17x17マトリックスを検索するプログラムに取り組んでいます。ポイント間のすべての接続を示す位置マトリックスを使用し、メインの対角線を修正し、マトリックスの最上行が16choose8の可能なすべての組み合わせを通過できるようにします。次の基準に関して合格するマトリックスのみをキャプチャします... no-XRRR、no-RXRR、no-RRXR、no-RRRX、no-XBBB、no-BXBBなど。次に、次を使用してマトリックスをスイープします。最も弱い基準... XBRRなし、BXRRなし、BBXRなし、BBRXなし、XRBBなし、RXBBなしなど、コンピューターが自動的に色付けを行うまで合計32回のスイープ。合計12780個のうち、400個のマトリックスごとに候補があり、候補の検索には0.95時間、8個ごとに1個の候補があることに気付きました。644秒。それは近づいていますが、私はそれをプログラムする時間があまりありません...私はフルタイムで働いています。私たちは一緒に仕事をしなければなりません... 289.00ドルを使用できます！

— ウィリアム・ブーリス
ソース

ビル・ガザークは128ドルしか払わないはずです。

— ウィリアムブーリス

ごめんなさい... 272/2または$ 136

— William Bouris

4

これは質問に対する答えではありません。コメントとして最適です。

— スレシュヴェンカト