ラムジーの定理の拡張：単色だが多様

Hsien-Chih Changによって解決された私の以前の質問のフォローアップとして、ラムジーの定理の適切な一般化を見つけるための別の試みを次に示します。（前の質問を読む必要はありません。この投稿は自己完結型です。）

パラメータ：整数が指定され、次にが十分に大きくなるように選択されます。用語：サブセットは、サイズサブセットです。N M $1 \ll d \ll k \ll n$$N$$m$$m$

LET。各サブセットに対して、色割り当てます。K S ⊂ BのF （S ）∈ { 0 、1 $B = \{1,2,...,N\}$$k$$S \subset B$$f(S) \in \{0,1\}$

定義：

• F （S ）= F （S '）K S ⊂ X S ' ⊂ $X \subset B$は、すべてのサブセットおよびについて場合、単色です。$f(S) = f(S')$$k$$S \subset X$$S' \subset X$
• X = { X 1、X 2、。。。、x n } x i < x i + 1 x $X \subset B$あり、多様な場合ようとすべてのに対して。$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$$x_i < x_{i+1}$$x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$$i$

たとえば、$d = 10$場合、$\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$は多様ですが、\ { 12、15、25、32、39 \}は多様で$\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$はありません。多様なセットのサブセットは必ずしも多様ではないことに注意してください。

ここでラムジーの定理は、どのようにfを選択して$f$も、単色の$n$サブセットX \サブセットBがあることを示しています$X \subset B$。そして明らかに、多様な$n$サブセットX \サブセットBを見つけることは簡単$X \subset B$です。

質問：常に多様で単色の $n$サブセット$X \subset B$ますか？

編集： Hsien-Chih Changは、主張が素数については誤りであることを示していますが、複合どうですか？私のアプリケーションでは、の正確な値を任意に大きくできる限り、自由に選択できます。それらは素数の累乗、素数の積、または主張を真実にするために必要なものであれば何でもかまいません。D D « K « $d$$d$$d \ll k \ll n$

最初に私は言わなければなりません：この問題は本当に面白いです!! そして、ここでは、以前のアプローチが失敗した理由を簡単に説明します。不正解についてのこのメタ投稿で提案されています。

• 私の最初の試みは、すべてのnサブセットを非単色にするkサブセットの合計に関連するカラーリングを構築することでした。補題1は引き続き使用できます。しかし、補題2は間違っていました。kとdが関連する素数である場合、によって提案されたモジュールdのnサブセットは反例です。$\{1,3,1,3, \ldots\}$

• 2番目の試みは定理の証明でした。多様な単色のサブセットの比率を数えることにより、単色の数が非多様な数よりも多くなることを期待しています。しかし、これは私の計算のエラーであり、@ domotorpによって観察されます。非多様である比率はゼロに近づきません。より明らかに大きい約に収束します。n / d R （n 、n ; k ）− $n$$n/d$$R(n,n;k)^{-n}$

• 3つ目は1つ目の方法に戻り、uber-weakパラメーターセット（および）の定理が偽であることを示しています。加法的組合せ論で有名な補題、EGZ-theoremを使用しました。d ∣ $n > k+d-1$$d \mid k$

4回目の試行は、@ domotorpによる回答によるものです。それは巧妙で刺激的であり、私はすべてのパラメーターを処理するように彼の証明を修正しようとしています。しかし、それでも彼の方法はエレガントであり、私はこの単純なアプローチに完全に感謝しています。

多様なnセットには、少なくとも1つのkサブセットと、少なくとも「modクラス間の切り替え」が含まれます。正確には、多様なnセットとし、とすると、とが異なるmod-dにある場合にスイッチが定義されますクラス。用のk-1スイッチがあります。X = x 1、… 、x n S ∗ = x 1、… 、x k x i x i + 1 S $k-1$$X = x_1,\ldots,x_n$$S^* = x_1,\ldots,x_k$$x_i$$x_{i+1}$$S^*$

に最大k-2個のスイッチがある場合、kサブセットを赤にします。それ以外の場合は青色です。前の段落ですでに青いものがありましたが、場合、nセット赤いがあることを証明します。以来、 2つの数がある同じMOD-Dクラスおよび。そして、、はまたは要素が少なくともk-2個あります。そして、てkサブセットを構築できます。S N > K + D + 1 S X N > D X I、X J J - I ≤ D - 1 、N > K + D + 1 、X K X K < I K > J S 、X I 、X jは$S$$S$$n > k+d+1$$S$$X$$n > d$$x_i,x_j$$j-i \leq d-1$$n > k+d+1$$x_k$$X$$k<i$$k>j$$S$$x_i$横。最大でk-2回しか切り替わりません。したがって、は赤いkサブセットです。$x_j$$S$

あなたの質問を誤解したかもしれませんが、そうでない場合、それは誤りだと思います。メンバーがすべて合法なdを法とするkセットを赤で色付けし、他のkセットを青で色分けします。n> kdの場合、どのnセットにも、メンバーがすべてdを法として合同であり、したがって赤であるkセットが含まれている必要があります。一方、k-setに多様なn-setの2つの連続した要素が含まれている場合、それは青色です。