集合のコレクションに対するラムジーの定理

分散アルゴリズムの下限を証明するさまざまな手法を探っているうちに、Ramseyの定理の次のバリアントにアプリケーションが存在する可能性があることがわかりました。

パラメーター：、、が与えられ、次にが十分に大きくなるように選択されます。用語：サブセットは、サイズサブセットです。 $k$ $K$ $n$ $N$ $m$ $m$

LET 。 $A = \{1,2,...,N\}$
してみましょうすべてで構成するの-subsets 。 $B$ $k$ $A$
してみましょうすべてで構成されての-subsets 。 $C$ $K$ $B$
着色割り当てるの。 $f\colon C \to \{0,1\}$ $C$

今ラムジーの定理（ハイパー版）は、我々が選択したどんなにと言う、そこにある単色 -subset の：すべての-subsets 同じ色を持っています。 $f$ $n$ $B'$ $B$ $K$ $B'$

私はさらに一歩進み、単色見つけたい -subset の次の場合全てから成るの-subsets は、すべてのの-subsets 同じ色を有しています。 $n$ $A'$ $A$ $B' \subset B$ $k$ $A'$ $K$ $B'$

これは本当ですか、それとも偽ですか？名前はありますか？参考文献を知っていますか？

些細な理由でそれが偽である場合、この主張に似たより弱い変形はありますか？

reference-request co.combinatorics ramsey-theory

— ユッカ・スオメラ
ソース

ない答えが、場合早見ことができます：これはわずかに関連すると思われる

したい（および取得することができます）-covering設計上の問題、の小さなコレクション

の-subsets

含まれてい

、

すべての

サブセット。

(r, s, n)

$(r,s,n)$

s

$s$

n

$n$

r

$r$

n

$n$

r < s < n

$r < s < n$

— レフレイジン

次の質問があります：cstheory.stackexchange.com/questions/3795

— Jukka Suomela

k、Kの両方が1より大きい場合にのみ、質問が自明ではないことが観察されました。k = 1またはK = 1の場合、それはすべてのnに当てはまる通常のラムジーの定理です。また、 > K、それ以外の場合、最大で1 ${n \choose k}$ -AのnサブセットA 'で構成されるB'のサブセット。 ${n \choose k}$

まず、すべてのk> 1、K> 1について定理が偽であり、任意のnが > K> ${n \choose k}$ 。 $({n-1 \atop k})$

反例を構築するために、任意の大きなNおよびA = [N]に対して、BがA 'のすべてのk-サブセットで構成される場合、Aのすべてのn-サブセットA'に対してカラー関数fを構築する必要があります。、B 'のKサブセットのいくつかは異なる色を持っています。ここでは、次の観察結果があります。

観察1. k、K> 1および > K> ${n \choose k}$ 、BのKサブセットは、AのnサブセットA 'で構成された最大1つのB'のサブセットです。 $({n-1 \atop k})$

観測は、ハイパーグラフとして表現することで簡単に見ることができます。AをグラフGのノードとし、Aのn部分集合A 'はGの完全なn部分グラフのノード集合です。B'は完全な部分グラフのkハイパーエッジの集合です（2ハイパーエッジは通常のエッジ）、およびB 'のKサブセットはすべての組み合わせです（合計で、| B '| = $({|B'| \atop K})$ ）K個のk-ハイパーエッジ。観察状態：Gにおけるハイパーエッジの任意K-タプルのために明らかである多くても1つの完全なN-サブグラフに属する ${n \choose k}$ > K> ${n \choose k}$ 、任意の2つの完全なnサブグラフが最大でn-1個のノードと交差し、最大で $({n-1 \atop k})$ ハイパーエッジ。 $({n-1 \atop k})$

次に、nサブセットA 'で構成された特定のB'のKサブセットC '内で異なる色を割り当てることができます。これは、C'の要素はn-サブセットで構成されたB ''の別のKサブセットとして発生しないためです。 A ''。Aのnサブセットによって構成されていないBのKサブセットには、ランダムな色を割り当てます。これで、Aのnサブセットで構成されたB 'が単色ではない、つまりB'のKサブセットのいくつかが異なる色を持つという特性を持つ、着色関数fができました。

次に、定理はすべてのk> 1、K> 1についても偽であり、任意のnは >K。ここで唯一の違いは、nが非常に大きく選択され、K> ${n \choose k}$ は正しくありません。しかし、別の簡単な観察によって： $({n-1 \atop k})$

観察2. AのnサブセットA 'で構成されるB'が単色の場合、n '<nのA'のn 'サブセットA' 'で構成されるすべてのB' 'も単色です。

したがって、定理がより大きいnで成立すると仮定し、2番目の観測を適用し、n 'が> K> $({n' \atop k})$ ; そのようなn 'は $({n'-1 \atop k})$ > KおよびK> $({n \atop k})$ 、n 'はnとk + 1の間になければなりません。 $({k \atop k})$

— Hsien-Chih Chang張顯之
ソース

素晴らしい、このような単純な反例、多くの感謝！あなたのアイデアを任意の

拡張できるかどうか疑問に思います。例えば、それはまた、もし必ずしも偽

又は

？

k, K

$k, K$

1 ≪ k ≪ K

$1 \ll k \ll K$

1 ≪ K ≪ k

$1 \ll K \ll k$

— ユッカスオメラ

はい、ほとんどすべての場合に偽です。答えを編集します。

— Hsien-Chih Chang張顯之