四色定理を暗示する推測

4色定理（4CT）は、すべての平面グラフが4色付け可能であると述べています。[Appel、Haken 1976]と[Robertson、Sanders、Seymour、Thomas 1997]によって与えられた2つの証明があります。これらの証明は両方ともコンピューター支援であり、非常に威圧的です。

グラフ理論には、4CTを暗示するいくつかの推測があります。これらの推測の解決には、おそらく4CTの証拠のより良い理解が必要です。そのような推測の1つを次に示します。

推測：平面グラフ、Cを色のセット、f ：C → Cを固定小数点の自由なインボリューションとします。ましょL = （LのV：V ∈ V （Gが））ようなもので$G$$C$$f : C \rightarrow C$$L = (L_v : v \in V(G))$

• すべてのためのV ∈ Vと$|L_v| \geq 4$$v \in V$
• もし次いで、F （α ）∈ LのVすべてのためのV ∈ Vすべてについて、α ∈ C。$\alpha \in L_v$$f(\alpha) \in L_v$$v \in V$$\alpha \in C$

次に、グラフGの色が存在します。$L$$G$

4CTを暗示するそのような推測を知っている場合は、各回答に1つ記載してください。そのような推測の包括的なリストを見つけることができませんでした。

4CTは次と同等です。

• 最大4色でディスクの有限ファミリ（必ずしも内部で分断されているわけではなく、任意のオーバーラップがある可能性があるディスク）によって誘導されるハイパーグラフを着色します。$[1]$
• 3つ以上の頂点を持つすべての平面三角形分割は、それぞれが地峡のない2つの接続された2部グラフの結合であるという命題。$[2]$
• 3次元ベクトル外積代数に関する組み合わせ問題。$[3]$
• 文法Gが完全に曖昧であるという命題。$[4]$
• 正の整数、S nの 2つの順列を結合する署名可能なパスが少なくとも存在します。$n$$S_n$

• 4色の定理に代わるものが提示されます。同等のものは、特定の有限体上の多項式イデアルの族における多項式族の非メンバーシップの主張です。$[6]$

  1. Smorodinsky S. 幾何学的超グラフの色数について。
  2. マブリーR. 二部グラフと4色定理。
  3. カウフマンLH マップの色付けとベクトル外積。
  4. クーパーBJ等。4色定理の言語理論的証明に向けて。
  5. エリアホ・S・他 符号付き順列と4色の定理。
  6. ハワードL. 4色定理の代数的再定式。

4色の定理の別の機械的検証は、Microsoft Research CambridgeのGeorge Gonthierによって行われました。彼の証明との違いは、定理全体がCoq証明アシスタントを使用して記述され、機械的に検証されているのに対し、他の証明にはアセンブリ言語とCで記述されたカーネル計算のみが含まれているため、バグが発生するリスクがあることです。Gonthierの証明は、Coqのわずか60,000行の計算的側面と論理的側面の両方をカバーしています。

これについてはブログで話しましたが、私たちの洞察は次のとおりです。たとえば、最大でo（n）個のエラーがあるカラーリングがあると、テイトの状態が弱くなる可能性があります。こちらをご覧ください：http : //rjlipton.wordpress.com/2009/04/24/the-four-color-theorem/

T.サーティー、ガスリーの4色予想、アメリカンマスの13のカラフルなバリエーションを見てください。月例、79（1972）2-43多くの例。

また、David Barnetteの本「Map Coloring、Polyhedra and the Four-Color Problem」、MAA、Dolciani Series、Volume 8、1983年には多くの例が示されています。Barneteの本で特に興味深い結果の1つは、各面の辺の数が3の倍数になるように3価の凸多面体を生成するために凸多面体の頂点を常に切り捨てることができる場合、 4色の推測の真実。

Hadwiger予想。

論文Absolute Planar Retracts and the Four Color Conjectureで、Pavol Hellは4CTのいくつかの同等の定式化を証明しました。それらの1つは次のようになります。

絶対平面収縮が存在する場合、すべての平面グラフは4色（4CT）です。

$H$$G$$G$$r: V(G)\to V(H)$$r(v)=v$$v\in V(H)$

すべてのブリッジレス立方平面グラフは3エッジカラーリング可能です。（これは、Taitによる4CTと同等です。）

Dr. Bar-Natanの論文「Lie Algebras and the Four Color Theorem」（Combinatorica 17-1（1997）43-52、最終更新1999年10月、arXiv：q-alg / 9606016）四色定理。声明に現れる概念は、ノットの有限型不変量（ヴァシリエフ不変量）および3次元多様体の理論にも現れます。

このペーパーの提案2.4 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9500109A#は、4CTの別の定式化を示しています。

$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$G$$G$$\Delta(G)$$\Delta(G)$

$G$$K(G)$$G$$K(G)$$G$
$G$$K(G)$

Gonthierによる自動化された証明の高レベルの説明は、より多くの洞察を探しているなら、読む価値があります。

Yuri Matiyasevichは、4色の定理のいくつかの確率論的修正を研究しました。これには、着色間の類似性の2つの概念間の正の相関が含まれます。彼の等価性の証明は、関連するグラフ多項式に依存しています。これは、定理を暗示する推測への別の可能性のあるポインタを提供します。

• Georges Gonthier、形式的証明 —4 色の定理、アメリカ数学会の通知55（11）1382–1393、2008年。
• ユーリ・マティヤセビッチ、4色予想の1つの確率的等価物、 Teoriya Veroyatnostei i ee Primeneniya 48 411 – 416、2003年の紙の翻訳。
• ユーリ・マティヤセビッチ、四色予想の確率論的修正、ジャーナルオブグラフセオリー46 167–179、2004。（preprint）

シャロピンとゴンサルベスの論文（STOC '09）で、西の次の推測を読んだばかりです。

すべての平面グラフは、4つの方向のみを使用した平面内のセグメントの交差グラフです。

並列セグメントはこのような表現では独立したセットを形成するため、この推測は4CTを意味しますが、おそらくさらに強力です。

参照：西、未解決の問題。SIAM J Discrete Math Newsletter、2（1）：10-12、1991。

スナークはない3-エッジ着色が接続されている、ブリッジの立方体グラフです。ウィキペディアに従って、4CTを一般化したスナーク予想は次のとおりです。

すべてのスナークには、そのエッジの一部を細分化することによってピーターセングラフから形成できるサブグラフがあります。

再びウィキペディアによると、この推測の証拠は、ロバートソン、サンダース、シーモア、トーマスによって2001年に発表されました。

「最大平面グラフの顔ラベル付け」は、最近公開された古い論文のタイトルで、最大平面グラフの4色付けを顔ラベル付けの一貫性に変換しました。論文へのリンクはhttp://www.math.nsysu.edu.tw/~amen/2011/091021-3.pdfです

として

LHカウフマン、マップ色定理の再定式化、離散数学302（2005）145–172

ポイントうち、素数原理によるG.スペンサー・ブラウンなどにEliahou-Kryuchkov予想は FCTの同等の再定式化されています。

• S.エリアホ、対角反転と4色の定理、ヨーロッパJ.コンビン。20（1999）641–646。
• SI Kryuchkov、四色の定理と木、IV Kruchatov、原子力研究所、モスクワ、1992、IAE-5537 / 1。
• G.スペンサー・ブラウン、法の法則、ゲセツェ・デア・フォーム、ボーメイヤー出版、1997年。

Garry BowlinおよびMatthew G. Brinの論文「Associahedraの色付きパスによる平面グラフの色付け」、2013年5月12日に最後に改訂されたarXiv：1301.3984 math.COには、26ページに次の推測が含まれています。

予想6.4。同じ数の葉を持つ有限の二分木（D、R）のすべてのペアに対して、Dの符号割り当てとDに有効な回転シンボルのワードwがあり、Dw = Rです。

論文の以前の命題と定理に続く推測6.4は4CTと同等であると述べられています。

A K -flow無向グラフ上のGの各エッジを置換することによって誘導された有向グラフであるGアークとし、それに間の整数割り当て-k及びK、排他的な、そのようなは、そのGの各頂点、整数の和のためにその頂点を指す円弧に割り当てられた値は、指す円弧に割り当てられた整数の合計に等しくなります。NWZ（ゼロ以外の場所）k -flowは、アークに番号0が割り当てられていないk -flowです。

任意の平面グラフのGのデュアルGはの平面埋め込みに各面に対して1つの頂点含有グラフであるG、およびすべてのエッジのためにそれらを接続するデュアル共有する1つのエッジで2つの頂点をそれに対応する面Gのそれらの間の共有その境界で。TUTTEのフロー着色双対性定理、（その削除コンポーネントの数を増加させる、すなわちエッジ）NWZ有しない峡部を有する平面グラフによれば、K -flowその双対である場合にのみK -colourable。言い換えれば、平面グラフは、そのデュアルにNWZ 4フローがある場合にのみ4色付け可能です。

4CTでは、問題の平面グラフにループ（頂点をそれ自身に接続するエッジ）がないことが必要であることに注意してください。色に関係なく、同じ色の頂点。

私はこれに取り組んでいます：

長方形のマップの定理を証明できる場合、つまり、紙のシートが重なり合って作成されたマップである場合、4ctも証明しています。さらに、5つ以上のエッジをすべて含む面を持つマップのみが検索で考慮できます。

詳細については、http：//4coloring.wordpress.com/を参照してください。