有界度を持つグラフの色数を近似する硬度

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有界度のあるグラフの頂点カラーリングの硬度結果を探しています。

グラフを考えると、我々は、いずれかのことを知っている、それはおおよそに難しいの要因の中 [ 1 ]でない限り。しかし、の最大次数がで区切られている場合はどうでしょうか？フォームのいずれかの硬度比がある（いくつかのために）このケースでは？ $G(V,E)$ $\epsilon>0$ $\chi(G)$ $|V|^{1-\epsilon}$ $\textit{NP}=\textit{ZPP}$ $G$ $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon$

簡単な質問は、エッジサイズがで区切られている場合のハイパーグラフのエッジ色数を近似する難しさです。この場合、硬度比を期待できますか？（いずれかのために、と言う） $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon >0$

ご清聴ありがとうございました！

— afshi7n
ソース

3

ハードインスタンスに孤立した頂点を

— 埋め込む

2

はい。ただし、開始元のハードインスタンスのサイズに有限の境界を設定すると、ハードになることはなくなります。

— デビッドエップシュタイン

1

@Sasho色数も最大次数も増加させない場合、孤立した頂点はどのように役立ちますか？

— -afshi7n

2

@DavidEppstein確かに、このパディングは、

と

がまだ多項式関係にある場合にのみ何かを証明します。OP、それは実際に正確にポイントです。あなたがインスタンスを起動する

（最大で最大の次数ので、頂点

、それはおおよそのハードであるため）

内に

。

個の孤立した頂点を追加します。

は同じままで、最大次数は

ままです。

場合、これはポリタイムです。したがって、任意の整数

n

$n$

d

$d$

d

$d$

d

$d$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

n - d

$n - d$

χ

$\chi$

d

$d$

N = d^{O (1)}

$N = d^{O(1)}$

k

$k$ 、最高度でインスタンスが存在し

それは近似にハードされた

内に

d = n^{1 / k}

$d = n^{1/k}$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

— Sashoニコロフ

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ダビデは、Khotの論文、「MaxClique、彩色数とおおよそのグラフ彩色のための改善されたInapproximability結果」を指摘したように、定理1.6は、それがカラーにNP困難であると言うと-colorableグラフ色の十分に大きい定数に対して、次数が最大グラフ。つまり、次数グラフの場合、を色付けするのは困難です $K$ $2^{\Omega((\log K)^2)}$ $2^{2^{(\log K)^2}}$ $K$ $d$ -色の色付きグラフ。 $2^{\sqrt{\log\log d}}$ $\log d$

より良い次数を得るには、おそらくトレビザンの論文「限界次数インスタンスでの最適化問題の非近似性結果」のアイデアを使用できます。重要な観察結果は、FGLSS削減によって生成されたグラフは完全な2部構成のサブグラフの結合であり、それぞれをよりスパースな2部構成の分散器に置き換えることができるということです。Chan http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/、定理1.4 /付録D など、多くの結果で使用されている同様のアイデア

私は、これはあなたのために何か与えるべきだと思う -で囲まれた次数の色付け可能なグラフ。NP0は、いくつかの定数に対して色で色付けすることは困難です。 $2^{\sqrt{c\log d}}$ $d$ $d^{c}$ $0<c<1$

マイケルが言及した論文の限界は、Khotのそれに似ています。つまり、健全性の場合の指数です。もちろん、上記のスパース化アプローチもこれを改善しますが、おそらくあなたの目的により良い定数を与えることはないでしょう。

— サンシャ
ソース

Sangxia、お返事ありがとうございます。だから、Khotの論文から、我々は暗に示すことに

硬度比を。私はあなたの論文の改善を使用して、我々はその硬度比を向上させることができると思い

2^{Ω (\log \log d)}

$2^{\Omega(\log \log d)}$

。あれは正しいですか？

2^{2^{Ω (\sqrt{\log \log d})}}

$2^{2^{\Omega(\sqrt{\log \log d})}}$

— -afshi7n

@ afshi7nパラメーターはここでは少し注意が必要です。度の観点から述べると、Khotの紙が与え

。私の論文では、おおよそ

ます。トレビザンのアプローチにより、グラフの次数を削減できます。これで

が得られると思います。ところで、これらはすべて十分に大きな定数

必要とします。

\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}

$\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}$

\log d / (\log \log d)^{3}

$\log d / (\log\log d)^3$

d^{c}

$d^c$

d

$d$

— サンクシア

1

なるほど！私はまた、彼は、この紙に私を呼ばれ、電子メールを介してKhotを尋ねsiam.org/proceedings/soda/2011/SODA11_124_guruswamiv.pdf私が与えると信じ

Khotの2-1推測を想定しています。

d^{c}

$d^c$

— afshi7n

8

最大有界度のある色グラフの色数を近似する最もよく知られている硬度は、Venkatesan GuruswamiとSanjeev Khannaによる、3色グラフの4色の硬さについてです。 $3$

最大次数が最大で色のグラフが与えられた場合、たった色で色を塗るのはNP困難であるような定数があります。 $\Delta$ $3$ $\Delta$ $4$

— vb le
ソース

8

KhotのFOCS'01論文の「制限された次数グラフの色付けには、近似不可能性の結果があります。

$k$ $k$ $2^{k^{O(\log k)}}$ , it is NP-hard to find colorings that use $\exp((\log k)^2/25)$ colors. So in terms of the degree $d$ , it is hard to color within an $O(\log d)$ factor, but the same inapproximability ratio is also a superpolynomial function of the chromatic number.

— David Eppstein
ソース

David, thanks for your reply. Yes I had seen their result, but I'm hoping to get a hardness ratio better than

\log d

$\log d$ . I think this might be easier to achieve in the second problem, i.e. approximating the edge chromatic number of hypergraphs..

— afshi7n

Why not ask Khot?

— Chandra Chekuri

1

@chandra Just sent an email and asked him, thanks for the suggestion! I will update here if I heard back.

— afshi7n

Actually, the cited paper by Khot proves a gap between k-colorable and

k^{\log k / 25}

$k^{\log k/25}$ -colorable graph (not

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$ . This has recently been improved by Huang to

2^{k^{1 / 3}}

$2^{k^{1/3}}$ in a paper that will appear in the next STOC. (arxiv.org/abs/1301.5216)

— Michael Lampis

Why do you think that

k^{(\log k) / 25}

$k^{(\log k)/25}$ and

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$ represent different quantities? Or am I misinterpreting the ambiguous operator precedence of Khot's formula?

— David Eppstein

4

This result might be helpful:

Emden-Weinert, Hougardy, and Kreuter proved that determining whether a graph with maximum degree $\Delta$ has a coloring using $k=$ $\Delta - \sqrt\Delta +1$ colors is NP-complete ( $k\ge 3$ )

T. Emden-Weinert, S. Hougardy, B. Kreuter, Uniquely colourable graphs and the hardness of colouring graphs of large girth, Combin. Probab. Comput. 7 (4) (1998) 375–386

— Mohammad Al-Turkistany
ソース