タグ付けされた質問 「hypergraphs」

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シフトチェーンは2色可能ですか?
用A ⊂ [ N ]A⊂[n]A\subset [n]意味によってI I Tの時間の最小要素A。a私aia_i私t hithi^{th}AAA 二人kkk -elementセット、A 、B ⊂ [ N ]A,B⊂[n]A,B\subset [n]、我々は、と言うA ≤ BA≤BA\le Bあれば、私は ≤ bはIをすべてのための私。a私≤ B私ai≤bia_i\le b_i私ii kkk -uniformのハイパーグラフH ⊂[N]H⊂[n]{\mathcal H}\subset [n]と呼ばれるシフト鎖任意ハイパーエッジのために、場合A 、B ∈ HA,B∈HA, B \in {\mathcal H}、我々が持っているA ≤ BA≤BA\le B又はB ≤ AB≤AB\le A。(したがって、シフトチェーンには最大でk (n − k )+ 1k(n−k)+1k(n-k)+1ハイパーエッジがあります。) ハイパーエッジが単色でないように頂点を2色で着色できる場合、ハイパーグラフ HH{\mathcal H}は2色可能です(またはプロパティBがあります)。 …

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ハイパーグラフの折れ線グラフを認識する
ハイパーグラフの線グラフ(単純な)グラフであるの縁部を有するの2つの縁部と頂点と隣接しているそれらが空でない共通部分を持っている場合。ハイパーグラフは、各エッジに最大個の頂点がある場合、ハイパーグラフです。G H H G r rHHHGGGHHHHHHGGGrrrrrr 次の問題の複雑さは何ですか:グラフ与えられ、が折れ線グラフであるようなハイパーグラフが存在しますか?3 H G HGGG333HHHGGGHHH ハイパーグラフの折れ線グラフを認識することは多項式であり、ハイパーグラフの折れ線グラフを認識することはNPであることが知られています(Poljak et al。、Discrete Appl。Math。3 (1981)301-312)。任意の固定のために-complete。 R R ≥ 4222rrrR ≥ 4r≥4r \ge 4 注:単純なハイパーグラフの場合、つまりすべてのハイパーエッジが異なる場合、Poljak et alの論文で証明されているように、問題はNP完全です。

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「すべて異なるハイパーグラフの色付け」-既知の問題?
次の問題に興味があります:XのセットXとサブセットX_1、...、X_nが与えられた場合、各X_iの要素がすべて異なる色になるように、kの色でXの要素の色付けを見つけます。より具体的には、すべてのX_iのサイズがkである場合を検討しています。これはいくつかの名前で文学で知られていますか?着色可能なインスタンスの特性と複雑さの結果を探しています(P vs. NP-hard)。たとえば、k = 2の場合、色付け可能なインスタンスは2部グラフに対応するため、多項式時間で問題を解決できます。

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有界度を持つグラフの色数を近似する硬度
有界度のあるグラフの頂点カラーリングの硬度結果を探しています。 グラフを考えると、我々は、いずれかのことを知っているε > 0、それはおおよそに難しいχ (G )の要因の中| V | NP = ZPP [ 1 ]でない限り1 - ϵ。しかし、Gの最大次数がdで区切られている場合はどうでしょうか?フォームのいずれかの硬度比があるD 1 - ε(いくつかのためにε)このケースでは?G(V,E)G(V,E)G(V,E)ϵ>0ϵ>0\epsilon>0χ(G)χ(G)\chi(G)|V|1−ϵ|V|1−ϵ|V|^{1-\epsilon}NP=ZPPNP=ZPP\textit{NP}=\textit{ZPP}GGGdddd1−ϵd1−ϵd^{1-\epsilon}ϵϵ\epsilon 簡単な質問は、エッジサイズがで区切られている場合のハイパーグラフのエッジ色数を近似する難しさです。この場合、d 1 − ϵの硬度比を期待できますか?(いずれかのために、と言うε > 0)dddd1−ϵd1−ϵd^{1-\epsilon}ϵ>0ϵ>0\epsilon >0 ご清聴ありがとうございました!

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ハイパーグラフのほぼ最適なエッジ彩色のための効率的なアルゴリズム
グラフの色分けの問題は、ほとんどの人にとってすでに困難です。それでも、私は困難になり、ハイパーグラフの色付けに関する問題を尋ねる必要があります。 質問。 k-均一ハイパーグラフのほぼ最適なエッジカラーリングを見つけるための効率的なアルゴリズムは何ですか? 詳細--- k-均一ハイパーグラフは、各エッジに正確にk個の頂点が含まれるハイパーグラフです。単純なグラフの通常の場合は、k = 2です。より正確には、2つのエッジが実際に同じ頂点セットを持つラベル付き k-均一ハイパーグラフに興味があります。ただし、エッジがk-1以下の頂点で交差するk正規ハイパーグラフで何かを解決します。 ハイパーグラフのエッジカラーリングは、グラフの場合のように、同じ色のエッジが交差しないものです。色度指数χ '(H)は、通常のように、必要な色の最小数です。 決定論的またはランダム化された多項式時間アルゴリズムの結果が欲しいです。 効率的に見つけることができるものと実際の色指数χ '(H)の間の最もよく知られている近似係数/加算ギャップを探しています最大頂点次数Δ(H)、ハイパーグラフのサイズなど。 編集:以下のハイパーグラフ双対に関するSureshの発言によって促されます。この問題は、k正規ハイパーグラフの強い頂点カラーリングを見つける問題と同等であることに注意する必要があります。現在、異なる数の頂点が含まれている可能性があります]。また、隣接する2つの頂点の色が異なるように頂点を色付けする必要があります。この再定式化にも明らかな解決策はないようです。 備考 グラフの場合、Vizingの定理は、グラフGのエッジクロマティック数がΔ(G)またはΔ(G)+1であることを保証するだけでなく、その標準的な証明は、Δ(G )+1エッジ色。この結果は、k = 2の場合に興味があれば十分でしょう。ただし、k> 2任意に特に興味があります。 最大でt個の頂点で交差するすべてのエッジなどの制限を追加しない限り、ハイパーグラフのエッジの色付けの境界に関する既知の結果はないようです。ただし、χ '(H)自体に境界は必要ありません。「十分な」エッジカラーリングを見つけるだけのアルゴリズム。[また、ハイパーグラフに制限を付けたくありません。ただし、k-均一であることと、最大頂点次数の範囲を除きます。たとえば、f∈ω(1)に対してΔ(H)≤f(k) 。] [ 補遺。私が今求めているMathOverlowに関連する質問を建設あるいは、彩色数の限界について。]

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平面グラフのどのプロパティがより高い次元/ハイパーグラフに一般化しますか?
平面グラフが交差するエッジを有することなく、平面内に埋め込むことができるグラフです。 LET であるk個の、そのすべてのハイパーエッジがサイズkを有するように、すなわちハイパーグラフ-uniform、ハイパーグラフ。G=(X,E)G=(X,E)G=(X,E)kkk なされてきた行っていくつかの作業(クラスタリングのコンテキストまたは他のアプリケーションとの)面にハイパーグラフを埋め込むには、しかし、多くの場合、データはジャスト面に埋め込むことができません。解決策は、それを強制するか、多少の損失を伴うか、またはここで提案するように、より高い次元に埋め込むことです。 平面性の自然な拡張(少なくともIMO)は、G:埋め込みM:X → R kの " -simple embedding"(既知の異なる名前はありますか?)であり、接続するサーフェスが存在するようになります。各ハイパーエッジのすべての頂点。これらは、端点を除いて交差しません。kkkGGGM:X→RkM:X→Rk\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k (2Dのアナログを考えてください。各サーフェスは、好きなように描くことができるエッジです)。 これは、3均一ハイパーグラフの有効な3単純埋め込みの例です。(各頂点は、含まれているハイパーエッジによって色分けされ、各面はハイパーエッジを表します)。 3つの単純なグラフの別の例は、5つの頂点上の完全な3均一ハイパーグラフです。これを確認するには、R 3で2D平面上にない4つの点を取り、三角形のピラミッド(凸包)を作成し、5番目の点をピラミッドの中心に配置して、他の頂点に接続します。G=(V,V×V×V)G=(V,V×V×V)G=(V,V\times V\times V)R3R3\mathbb{R}^3 同様に、6つの頂点の完全な3ユニフォームハイパーグラフには、3単純な埋め込みがないようです。 平面グラフにはいくつかの非常に便利なプロパティがあり、グラフが平面である場合に困難な問題のアルゴリズムを改善できます。残念ながら、データは次元数が少ない場合もありますが、多くの場合、平面的ではありません。平面グラフのどのプロパティが一般化するかを理解することは、同じアルゴリズムでどのアルゴリズムをより高次元に適合できるかを理解するのに役立つと思います。 役立つ可能性のあるプロパティの例は、すべての平面グラフをすべてのエッジが直線セグメントになるように埋め込むことができることを示唆するファリーの定理から来ています。 kkk 一般化できる他のプロパティはありますか?たとえば、平面グラフのオイラーの公式は、どういうわけかより高い次元に一般化できますか?(現時点では、それが何を意味するのかはわかりません)。

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グラフからハイパーグラフに移行する際の根本的な困難は何ですか?
グラフ理論の問題を分析できる組み合わせ論とコンピューターサイエンスには多くの例がありますが、問題のハイパーグラフアナログでは、ツールが不足しています。なぜ2均一グラフよりも3均一ハイパーグラフの方が問題がはるかに困難になると思いますか?根本的な困難は何ですか? 1つの問題は、まだスペクトルハイパーグラフ理論を十分に理解していないことです。この問題について、もっと光を当ててください。しかし、ハイパーグラフをより困難なオブジェクトにする他の理由も探しています。

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境界のない部分的なハイパーツリー幅を持つCSP
a´a´\acute{\rm a}H ∈ P T I M EHHHHHH∈PTIME∈PTIME\in PTIME 定義など 標準的なツリー分解とツリー幅の優れた調査については、こちらをご覧ください(前もってありがとう、JeffE!)。 してみましょうHHHハイパーグラフも。 次に、ハイパーグラフとマッピング場合、γ :E (H )→ [ 0 、∞ )HHHγ:E(H)→[0,∞)γ:E(H)→[0,∞)\gamma : E(H) \rightarrow [0,\infty) B (γ)=B(γ)=B(\gamma) = { }。V ∈ V(H):∑E ∈ V(H)、V ∈ Eγ(E )≥ 1v∈V(H):∑e∈V(H),v∈eγ(e)≥1v \in V(H) : \sum_{e \in V(H), v \in e} \gamma(e) \ge 1 さらに、weight()=ます。Σ …

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以下のための下限の影響
ここでの多くは、おそらくのためのアロンの最近の超線形下界を認識している自然の幾何学的な設定で-nets [PDF] 。関連するセットカバー/ヒッティングセットの問題の近似可能性について、このような下限が何を意味するかを知りたいのですが。 ϵϵ\epsilon もう少し具体的に言うと、レンジスペースのファミリー、たとえばファミリーについて考えてみましょう。 :Xは有限の平面点セットであり、RにはXと線のすべての交差が含まれます }{(X,R){(X,R)\big\{(X,\mathcal{R})XXXRR\mathcal{R}XXX}}\big\} 線形または超線形であるいくつかの関数について、ファミリーにサイズf (1 / ϵ )のϵ -netsを許可しない範囲空間が含まれている場合、最小ヒッティングセットの問題についてこれが何を意味するかこの範囲のスペースのファミリーに制限されていますか?fffϵϵ\epsilonf(1/ϵ)f(1/ϵ)f(1/\epsilon)

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ハイパーグラフの折れ線グラフの最大クリケ
マルチグラフ(後で、マルチハイパーグラフ)があるとします。エッジクリークは、全ての対の交差する(少なくとも一つの共通の頂点を有する)エッジの集合です。次に、マルチグラフのエッジクリークは、常に次の2つのカテゴリのいずれかに分類されます。CCC 星:のすべてのエッジような頂点がある、それが含まれていますが、CCC 三角形:のすべてのエッジように、3つの頂点が存在する二人の間に進むがCCC これは、最大のエッジクリークを計算するための簡単な時間アルゴリズムにつながります。O (n3)O(n3)O(n^3) すべてのについて、最大エッジサイズrのマルチハイパーグラフで、ハイパーエッジクリークの特定の構造定理を証明し、多項式時間アルゴリズムを取得して最大クリークを見つけることができることを、より一般的に示すことができると確信しています。rrrrrr この結果に関連する何か知っていますか?また、私が念頭に置いているアルゴリズムは非常に高次の多項式です。実行時間またはそれ以上で何かを取得するとよいでしょう。npoly(r)npoly(r)n^{\mathrm{poly}(r)} 最大のエッジクリークがエッジクロマティック数(クロマティックインデックスとも呼ばれます)の下限であるため、これは興味深いものでした。 編集:クロスポストでは、カーネルに関する参照は時間アルゴリズムにつながります。カーネルを推測し、カーネルへのクリークの制限を推測します。22exp(r)nexp(r)22exp(r)nexp(r)2^{2^{\mathrm{exp}(r)}}n^{\mathrm{exp}(r)}
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