平面グラフのどのプロパティがより高い次元/ハイパーグラフに一般化しますか？

平面グラフが交差するエッジを有することなく、平面内に埋め込むことができるグラフです。

LET であるk個の、そのすべてのハイパーエッジがサイズkを有するように、すなわちハイパーグラフ-uniform、ハイパーグラフ。$G=(X,E)$$k$

なされてきた行っていくつかの作業（クラスタリングのコンテキストまたは他のアプリケーションとの）面にハイパーグラフを埋め込むには、しかし、多くの場合、データはジャスト面に埋め込むことができません。解決策は、それを強制するか、多少の損失を伴うか、またはここで提案するように、より高い次元に埋め込むことです。

平面性の自然な拡張（少なくともIMO）は、G：埋め込みM：X → R kの " -simple embedding"（既知の異なる名前はありますか？）であり、接続するサーフェスが存在するようになります。各ハイパーエッジのすべての頂点。これらは、端点を除いて交差しません。$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

（2Dのアナログを考えてください。各サーフェスは、好きなように描くことができるエッジです）。

これは、3均一ハイパーグラフの有効な3単純埋め込みの例です。（各頂点は、含まれているハイパーエッジによって色分けされ、各面はハイパーエッジを表します）。

3つの単純なグラフの別の例は、5つの頂点上の完全な3均一ハイパーグラフです。これを確認するには、R 3で2D平面上にない4つの点を取り、三角形のピラミッド（凸包）を作成し、5番目の点をピラミッドの中心に配置して、他の頂点に接続します。$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

同様に、6つの頂点の完全な3ユニフォームハイパーグラフには、3単純な埋め込みがないようです。

平面グラフにはいくつかの非常に便利なプロパティがあり、グラフが平面である場合に困難な問題のアルゴリズムを改善できます。残念ながら、データは次元数が少ない場合もありますが、多くの場合、平面的ではありません。平面グラフのどのプロパティが一般化するかを理解することは、同じアルゴリズムでどのアルゴリズムをより高次元に適合できるかを理解するのに役立つと思います。

役立つ可能性のあるプロパティの例は、すべての平面グラフをすべてのエッジが直線セグメントになるように埋め込むことができることを示唆するファリーの定理から来ています。

$k$

一般化できる他のプロパティはありますか？たとえば、平面グラフのオイラーの公式は、どういうわけかより高い次元に一般化できますか？（現時点では、それが何を意味するのかはわかりません）。

最初の発言として、あなたの焦点はハイパーグラフにあるようですが、ハイパーグラフの埋め込みに関するほとんどの文献は単体の複合体を扱うことを好むと思います。これらの質問についての良い参考資料は、Matousek、Tancer、Wagnerによるこの論文です。

ファリーの定理はより高い次元で成立しますか？

答えはいいえだ。

埋め込み可能性には、実際には3つの異なる概念があります。直線、区分的線形、連続（ハイパー）エッジの場合です。平面では、それらはすべて一致しますが、一般的には一致しません。直線埋め込みに関して、最初の反例はブレームによるものです

ブレーム、U（1983）。非多面体三角形のメビウスの帯。手続き アメール。数学。Soc。、89（3）、519–522。doi：10.2307 / 2045508

そして、いくつかの例は、マトロイド理論からの結果を使用して続いています。

PLとトポロジーの埋め込みの違いについて、これはHauptvermutungから生じる一般的な反例に起因します。5以上の次元では、区分的線形構造を許可しないトポロジーの球が存在します。

一般化できる他のプロパティはありますか？たとえば、平面グラフのオイラーの公式は、どういうわけかより高い次元に一般化できますか？

$k$

同様に、6つの頂点の完全な3ハイパーグラフには3単純埋め込みがないようです。

確かに、これはバンカンペンフローレス閉塞によるものです。これは、Matousekの著「Using Borsuk Ulam Theorem」で、非常に詳細かつ明確に説明されています。

おおおお。あなたは非常に慎重になりたいです。3Dの凸状ポリトープの接触グラフは、任意のグラフを実現できます。驚いたことに、クリークは、同じポリトープの回転および平行移動されたコピーであるn個のポリトープ（マインドゴーグル）によって実現できます。このペーパーを参照してください。

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

これは、かなり厄介なグラフを3Dの三角形の交差グラフとしてエンコードできることをすでに意味しています。このペーパーのセクション4を参照してください。

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

ところで、私はあなたの問題の同様のバージョンに興味があります。幾何学的交差グラフがどのように動作するかを理解しようとしています...

シュナイダーの定理は、その入射位置が最大3の次元である場合に限り、グラフは平面であると述べています。不思議なことに、非常によく似たタイトルの「半単純複合体の幾何学的実現」というはるかに古い論文がありますが、それは別のトピックにあると思います。

非常に重要な特性：ツリー幅の双対性。

例：ハイパーグラフのツリー幅とフレデリック・マゾイトによる表面双対性、

要約は次のとおりです。

グラフマイナーIIIで、ロバートソンとシーモアは次のように書いています。彼らはこれの証拠を決して与えなかった。この論文では、一般的な面にハイパーグラフを埋め込むためのこのステートメントの一般化を証明し、私たちの境界がタイトであることを証明します。

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Sur​​face_duality_journal.pdf