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グラフを平面に描画できるかどうかを多項式時間で決定するいくつかのアルゴリズムがあり、多くは線形の実行時間で行われます。しかし、クラスで簡単かつ迅速に説明でき、PLANARITYがPであることを示す非常に単純なアルゴリズムを見つけることができませんでした。ご存知ですか？ 必要に応じて、クラトフスキーまたはファリーの定理を使用できますが、グラフのマイナー定理のような深いものは使用できません。また、実行時間を気にせず、単に多項式を求めます。 以下は、これまでの3つの最良のアルゴリズムであり、単純さ/詳細な理論が不要なトレードオフを示しています。 アルゴリズム1：我々はグラフが含まれているかどうかをチェックすることができることを使用してまたはK 3 、3多項式時間でマイナーなように、私たちは深い理論を用いて、非常に単純なアルゴリズムを取得します。（この理論は、Saeedが指摘したように、すでにグラフの埋め込みを使用しているため、これは実際のアルゴリズム手法ではなく、グラフのマイナー定理を既に知っている/受け入れている学生に伝えるのは簡単なことです）K5K5K_5K3,3K3,3K_{3,3} アルゴリズム2 [誰かの答えに基づく]：3連結グラフを処理するのに十分であることが容易にわかります。これらについては、顔を見つけて、トゥッテの春の定理を適用します。 アルゴリズム3 [Juhoが推奨]：Demoucron、MalgrangeおよびPertuiset（DMP）アルゴリズム。サイクルを描くと、残りのグラフのコンポーネントはフラグメントと呼ばれ、適切な方法でそれらを埋め込みます（その間、新しいフラグメントを作成します）。このアプローチは、他の定理を使用しません。

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ハミルトニアン（略してハム）サイクルはNP完全であり、平面ハムサイクルはNP完全であることが知られています。平面ハムサイクルの証明は、ハムサイクルからではありません。 グラフGが与えられ、すべての交差点をいくつかの平面ガジェットに置き換えて、平面グラフG 'が得られるような優れたガジェットはありますか G 'にハムサイクルがある場合、Gにはハムサイクルがあります。 （ハムパス、誘導ハムサイクル、誘導ハムパスなどのバリアントに満足します。）

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平面グラフGとしてモデル化された電気ネットワークを考えます。各エッジは1Ω抵抗を表します。 Gの2つの頂点間の正確な実効抵抗をどれくらい迅速に計算できますか？ 同様に、Gの2つの頂点に1Vのバッテリーを取り付けた場合、各エッジに沿って流れる正確な電流をどれくらい迅速に計算できますか？ キルヒホッフのよく知られている電圧と電流の法則は、この問題を軽減し、エッジごとに1つの変数を持つ線形方程式を解くことになります。より最近の結果-Klein andRandić（1993）によって明示的に記述されていますが、Doyle and Snell（1984）の初期の研究では暗黙的です-そのノードのポテンシャルを表す頂点ごとに1つの変数を持つ線形システムを解く問題を軽減します; この線形システムの行列は、グラフのラプラシアン行列です。 どちらの線形システムも、ネストされた解剖と平面セパレーターを使用して、時間で正確に解くことができます[ Lipton Rose Tarjan 1979 ]。 これは既知の最速のアルゴリズムですか？O （n3 / 2）O(n3/2)O(n^{3/2}) Spielman、Teng、およびその他の最近の独創的な結果は、任意のグラフのラプラシアン系がほぼ線形時間でほぼ解けることを意味しています。現在の最高の実行時間については[ Koutis Miller Peng 2010 ]を参照してください。概要については、Simons FoundationのErica Klarreichによるこの驚くべき記事を参照してください。しかし、私は特に平面グラフの正確なアルゴリズムに興味があります。 一定時間で正確な実数演算をサポートする計算モデルを想定します。

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計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？

18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 

平面グラフの属はゼロです。トーラスに埋め込み可能なグラフの属数は最大1です。私の質問は簡単です： 平面グラフでは多項式的に解けるが、属1のグラフではNP困難な問題はありますか？ より一般的には、属gのグラフでは多項式的に解けるが、属> gのグラフではNP困難な問題はありますか？

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一般的なグラフでの三角形のカウントは、時間で簡単に行うことができ、はるかに高速に行うのは難しいと思います（参考文献を歓迎します）。平面グラフはどうですか？次の簡単な手順は、時間で実行できることを示してい。私の質問は2つあります。O(n3)O(n3)O(n^3)O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log{n}) この手順のリファレンスは何ですか？ 時間を線形にすることはできますか？ リプトン・タージャンの平面分離定理のアルゴリズムによる証明から、グラフのサイズに時間的に比例して、グラフの頂点を3つのセット分割し、1つの端点を持つエッジがないようにすることができます。とのもう一方、サイズは制限され両方サイズは頂点の数のに制限されます。グラフ内の三角形は、完全に内にか、完全に内にか、少なくとも1 つの頂点をからの他の2つの頂点とともに使用するか、A,B,SA,B,SA,B,SAAABBBSSSO(n−−√)O(n)O(\sqrt{n})A,BA,BA,B2323\frac{2}{3}AAABBBSSSA∪SA∪SA \cup SB∪SB∪SB \cup S. Thus it suffices to count the number of triangles in the graph on SSS and the neighbours of SSS in AAA (and similarly for BBB). Notice that SSS and its AAA-neighbours induce a kkk-outer planar graph (the said graph is a …

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平面グラフはフリーです。このようなグラフは、平面またはコンポーネントのいずれかであることが知られている3連結コンポーネントに分解できます。K3 、3K3、3K_{3,3}K5K5K_5 属1のグラフのそのような「素敵な」分解はありますか？ グラフマイナーに関する独創的な研究で、RoberstonとSeymourは、マイナーを含まないすべてのグラフを「ほぼ平面」のグラフの「クリークサム」に分解できることを示しました。もちろん、これは有界グラフにも当てはまります。構造特性をよりよく理解するために、属1のグラフに固有の分解を探しています。

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Gをnノード無向グラフとし、Tをterminalsと呼ばれるV（G）のノードサブセットとします。距離浮き袋（G、T）のプロパティを満たすグラフHであります dH（u 、v ）= dG（u 、v ）dH（あなたは、v）=dG（あなたは、v）d_H(u,v) = d_G(u,v) Tのすべてのノードu、vについて（Hは必ずしもGのサブグラフではないことに注意してください） たとえば、Gを次のグラフ（a）、Tを外面のノードとします。グラフ（b）は（G、T）の距離保存です。 さまざまなパラメータを持つ距離保存機能が存在することが知られています。私は特に次の特性を持つものに興味があります： Gは平面であり、重みがありません（つまり、Gのすべてのエッジに重み1があります）。 TのサイズはO （n0.5）O（n0.5）O(n^{0.5})であり、 Hにはサイズ（ノードとエッジの数）o （n ）o（n）o(n)ます。（O （nログログn）O（nログ⁡ログ⁡n）O(\frac{n}{\log\log n})。） そのような距離保存は存在しますか？ 上記の特性を満たすことができない場合は、あらゆる種類のリラクゼーションを歓迎します。 参照： スパースソースワイズおよびペアワイズ距離プリサーバー、Don CoppersmithおよびMichael Elkin、SIDMA、2006年。 Sparse Distance Preservers and Additive Spanners、BélaBollobás、Don Coppersmith、Michael Elkin、SIDMA、2005年 サブリニア距離誤差を伴うスパナおよびエミュレータ、Mikkel ThorupおよびUri Zwick、SODA、2006年。 アディティブスパナ、エミュレータなどの下限、デビッドP.ウッドラフ、FOCS、2006年。 距離保存器はエミュレーターとしても知られています。多くの関連する仕事は、スパナという用語を検索することでインターネット上で見つけることができます。これは、HがGの部分グラフである必要があります。しかし、HがGのT

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Koebeの美しい定理（ここを参照）には、平面グラフをディスクのキスグラフとして描画できることが記載されています（非常にロマンチックです...）。（多少異なって言えば、平面グラフはディスクの交差グラフとして描画できます。） Koebe定理は証明するのが非常に簡単ではありません。私の質問：この定理の簡単なバージョンでは、ディスクの代わりに太い凸形状を使用することが許可されていますか？すべての頂点が異なる形状になる可能性があることに注意してください。 ありがとう... 明確化：形状場合、R （X ）をXの最小の囲みボールの半径とし、r （X ）をSの最大の囲みボールの半径とします。形状Sはあるα -fat場合にR （X ）/ R （X ）≤ α。（これが肥満の唯一の定義ではありません、ところで。）XXXR(X)R(X)R(X)XXXr(X)r(X)r(X)SSSSSSαα\alphaR(x)/r(x)≤αR(x)/r(x)≤αR(x) /r(x) \leq \alpha

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ビデオゲームのニブラーとスネークの複雑さに関する小さな記事を書いている間。平面グラフ上の再構成の問題として両方ともモデル化できることがわかりました。そして、そのような問題がモーションプランニングエリアで十分に研究されていない可能性は低いようです（たとえば、リンクされたキャリッジまたはロボットのチェーンを想像してください）。ゲームはよく知られていますが、これは関連する再構成モデ​​ルの簡単な説明です： 蛇の問題 入力：平面グラフ、l小石p 1、. 。。、P Lは、ノード上に配置されるU 1、。。。、U L単純な経路を形成します。小石は蛇を表し、最初の小石p 1は彼の頭です。頭は、現在の位置から隣接する空きノードに移動でき、本体はそれに続きます。一部のノードにはドットが付いています。頭がドットでノードに到達すると、ボディはG =（V、 E）G=（V、E）G = (V,E)lllp1、。。。、plp1、。。。、plp_1,...,p_lあなたは1、。。。、あなたlあなたは1、。。。、あなたはlu_1,...,u_lp1p1p_1次の小石のEヘッドの移動。ノードのドットは、ヘビの横断後に削除されます。eeeeee 問題：スネークをグラフに沿って移動して、ターゲット構成 到達できるかどうかを尋ねます。ターゲット構成は、スネークの位置、つまり小石の位置の完全な説明です。TTT SNAKE問題は、ドットが使用されていない場合でも最大次数3の平面グラフ上で、また任意の数のドットを使用できる場合はソリッドグリッドグラフ上でNP困難であることを証明するのは簡単です。ドットのないソリッドグリッドグラフでは事態が複雑になります（別の未解決の問題に関連しています）。 問題が別の名前で研究されているかどうかを知りたい。 そして、特に、それがNPにあるという証拠があれば... 編集：問題は平面グラフ上でもPSPACE完全であることが判明し、結果は非常に興味深いように見えるため、それが新しい問題であるかどうか、およびそれについて既知の結果があるかどうかを調べることは残っています。 簡単な例（小石は緑色で表示され、ヘビの頭はP1です）。

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次の問題を考慮してください- 所与の最大平面グラフとG 2、検索グラフGの両方に（必ずしも誘導される）サブグラフが存在するように、エッジの最大数とG 1とG 2と同形であるG。G1G1G_1G2G2G_2GGGG1G1G_1G2G2G_2GGG これは多項式時間で実行できますか？はいの場合、どのように？ とG 2が一般的なグラフである場合、問題はNP完全であることが知られています（G 1がクリークになる可能性があるため）。また、G 1とG 2がツリー、または有界次数部分kツリーである場合、問題は多項式時間で解くことができることも知られています。では、最大の平面の場合はどうでしょうか？誰もこれを知っていますか？2つの最大平面グラフのグラフ同型は多項式です。おそらくこれは何らかの形で役立ちますか？G1G1G_1G2G2G_2G1G1G_1G1G1G_1G2G2G_2

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ここ：http : //www.planarity.org/Klein_elementary_graph_theory.pdf（章の埋め込み）には、平面グラフの組み合わせ埋め込みの定義が与えられています。（面の定義など）どんなグラフにも簡単に使用できますが、平面グラフをオイラー公式が保持するグラフとして定義します（グラフが接続されていると仮定）。すべての平面グラフで、コンビナトリアル埋め込みの面の定義が、トポロジカル埋め込みの面の定義に似ていることはかなり理解できます。（グラフが接続されていると仮定します。そうでなければ、組み合わせ埋め込みでは、接続されたすべてのコンポーネントに対して無限の面を持ちます） 問題は、接続されたグラフの組み合わせ埋め込みがオイラー公式を満たしている場合、これはこのグラフがトポロジカルな意味で平面的であることを意味しますか（平面埋め込み、つまり平面グラフです）？

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色付けを少し緩和します。つまり、少数の隣接する頂点に同じ色を割り当てます。単色成分は、同じ色を受け取る頂点のセットによって誘導されるサブグラフの連結成分であると定義され、問題は、最大単色成分がサイズを持つようにグラフを色付けするのに必要な色の最小数λλ\lambdaCCCを求めることです超えないC。この設定では、 従来の色付けは色付けと見なすことができます。したがって、一般的な平面グラフの場合、λの最小数はNP困難です。 [λ,1][λ,1][\lambda,1]λλ\lambda 私の質問はどのようにについて、ある平面グラフの-coloring[λ,2][λ,2][\lambda,2]、またはより一般的には、のため-coloring C ≥ 2？[λ,C][λ,C][\lambda,C]C≥2C≥2C \geq 2 これはによって研究されているものの二重の問題として見ることができエドワーズとファー、固定されており、1は最小のサイズを見つけるように頼まれるCを。λλ\lambdaCCC

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Courcelleの定理は、モナド2次論理で定義可能なすべてのグラフプロパティは、有界treewidthのグラフ上で線形時間で決定できると述べています。これは、最もよく知られているアルゴリズムメタ定理の1つです。 クルセルの定理に動機付けられて、私は次のような推測をしました。 推測： MSO定義可能なプロパティとする。場合ψは、平面グラフに多項式時間で解けるあり、その後、ψはマイナー-freeグラフのすべてのクラスに多項式時間で解けるです。ψψ\psiψψ\psiψψ\psi 上記の推測が明らかに間違っているかどうか、つまり、平面グラフでは多項式時間で解けるが、あるクラスのマイナーフリーグラフではNP困難なMSO定義可能なプロパティがあるかどうかを知りたいですか？ これが私の以前の質問の背後にある動機です：属gのグラフでは多項式的に解けるが、属> gのグラフではNP困難な問題はありますか？

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平面グラフが交差するエッジを有することなく、平面内に埋め込むことができるグラフです。 LET であるk個の、そのすべてのハイパーエッジがサイズkを有するように、すなわちハイパーグラフ-uniform、ハイパーグラフ。G=(X,E)G=(X,E)G=(X,E)kkk なされてきた行っていくつかの作業（クラスタリングのコンテキストまたは他のアプリケーションとの）面にハイパーグラフを埋め込むには、しかし、多くの場合、データはジャスト面に埋め込むことができません。解決策は、それを強制するか、多少の損失を伴うか、またはここで提案するように、より高い次元に埋め込むことです。 平面性の自然な拡張（少なくともIMO）は、G：埋め込みM：X → R kの " -simple embedding"（既知の異なる名前はありますか？）であり、接続するサーフェスが存在するようになります。各ハイパーエッジのすべての頂点。これらは、端点を除いて交差しません。kkkGGGM:X→RkM:X→Rk\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k （2Dのアナログを考えてください。各サーフェスは、好きなように描くことができるエッジです）。 これは、3均一ハイパーグラフの有効な3単純埋め込みの例です。（各頂点は、含まれているハイパーエッジによって色分けされ、各面はハイパーエッジを表します）。 3つの単純なグラフの別の例は、5つの頂点上の完全な3均一ハイパーグラフです。これを確認するには、R 3で2D平面上にない4つの点を取り、三角形のピラミッド（凸包）を作成し、5番目の点をピラミッドの中心に配置して、他の頂点に接続します。G=(V,V×V×V)G=(V,V×V×V)G=(V,V\times V\times V)R3R3\mathbb{R}^3 同様に、6つの頂点の完全な3ユニフォームハイパーグラフには、3単純な埋め込みがないようです。 平面グラフにはいくつかの非常に便利なプロパティがあり、グラフが平面である場合に困難な問題のアルゴリズムを改善できます。残念ながら、データは次元数が少ない場合もありますが、多くの場合、平面的ではありません。平面グラフのどのプロパティが一般化するかを理解することは、同じアルゴリズムでどのアルゴリズムをより高次元に適合できるかを理解するのに役立つと思います。 役立つ可能性のあるプロパティの例は、すべての平面グラフをすべてのエッジが直線セグメントになるように埋め込むことができることを示唆するファリーの定理から来ています。 kkk 一般化できる他のプロパティはありますか？たとえば、平面グラフのオイラーの公式は、どういうわけかより高い次元に一般化できますか？（現時点では、それが何を意味するのかはわかりません）。

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