タグ付けされた質問 「lo.logic」

私はいくつかのカテゴリー理論を学んでいます。それは確かに物事を見る別の方法です。（それを見たことがない人のための非常に大まかな要約：カテゴリー理論は、オブジェクト間の機能的関係の観点のみであらゆる種類の数学的行動を表現する方法を提供します。例えば、2セットのデカルト積のようなものは、セットのメンバーである要素の観点からではなく、他の関数がそれとともにどのように動作するか） カテゴリ理論はプログラミング言語/ロジック（「理論B」）側で有用であるという漠然とした理解があり、どの程度のアルゴリズムと複雑さ（「理論A」）が役立つか疑問に思っています。しかし、理論Bのカテゴリ理論の確かな応用を知っていれば、それは私が着手するのに役立つかもしれません（理論Aにはこれまで見つかった応用はないことをすでに暗黙のうちに仮定していますが、それらのいくつかがあれば、それは私にとっては良い！） 「確実なアプリケーション」とは、次のことを意味します。 （1）アプリケーションはカテゴリ理論に強く依存しているため、機械を使用せずに達成することは非常に困難です。 （2）アプリケーションは、カテゴリー理論の少なくとも1つの非自明な定理（たとえば、米田の補題）を呼び出します。 （1）は（2）を暗示している可能性がありますが、これらが「実際の」アプリケーションであることを確認したいと思います。 「理論B」の背景はありますが、しばらく経っていますので、専門用語の削除は大歓迎です。 （回答の種類によっては、後でこの質問をコミュニティWikiに変えることもあります。しかし、説明が十分にある優れたアプリケーションが本当に欲しいので、回答者に何かに報酬を与えないのは残念に思えます。）

103 pl.programming-languages  lo.logic  ct.category-theory 

一般に、普遍的数量詞と実存的数量詞の順序を逆にすることはできないことはよく知られています。つまり、一般的な論理式場合、ϕ(⋅,⋅)ϕ(⋅,⋅)\phi(\cdot,\cdot) (∀x)(∃y)ϕ(x,y)⇎(∃y)(∀x)ϕ(x,y)(∀x)(∃y)ϕ(x,y)⇎(∃y)(∀x)ϕ(x,y)(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y) 一方、右側は左側よりも制限が強いことがわかっています。つまり、(∃y)(∀x)ϕ(x,y)⇒(∀x)(∃y)ϕ(x,y)(∃y)(∀x)ϕ(x,y)⇒(∀x)(∃y)ϕ(x,y)(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)。 この質問は、\ phiが成り立つときはいつでも（\ forall x）（\ exists y）\ phi（x、y）\ Rightarrow（\ exists y）（\ forall x）\ phi（x、y）を導出する手法に焦点を当てて(∀x)(∃y)ϕ(x,y)⇒(∃y)(∀x)ϕ(x,y)(∀x)(∃y)ϕ(x,y)⇒(∃y)(∀x)ϕ(x,y)(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)いますϕ(⋅,⋅)ϕ(⋅,⋅)\phi(\cdot,\cdot)。 対角化はそのような手法の1つです。私は第1用紙に対角のこの使用を参照のRelativizations P=?NPP=?NP\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}質問（参照カッツによって短い音符を）。その論文では、著者は最初に次のことを証明します。 決定論的な多項式時間オラクルマシンMには、L_B \ ne L（M …

73 lo.logic  big-picture  proof-techniques 

数学者は、選択の公理（AC）および決定の公理（AD）を心配することがあります。 選択の公理：任意の集合を考える空でない組は、関数があるセットが与えられると、そのにおける、メンバー返し。 f S C SCC{\cal C}fffSSSCC{\cal C}SSS 決定性の公理：を無限に長いビット文字列のセットとする。アリスとボブは、無限の文字列が構築されるまで、アリスが最初のビットを選び、ボブが2番目のビット選ぶというゲームをします。場合、アリスがゲームに勝ち、場合、ボブがゲームに勝ちます。仮定は、すべてのに対して、プレイヤーの1人に勝利戦略があるということです。（たとえば、がすべて1の文字列のみで構成されている場合、Bobは有限数の動きで勝つことができます。）B 1 、B 2、X = B 1 B 2 ⋯ X ∈ S X ∉ SSSSb1b1b_1b2b2b_2x = b1b2⋯x=b1b2⋯x = b_1 b_2 \cdots X ∈ Sx∈Sx \in SX ∉ Sx∉Sx \not \in S SSSSSSS これら2つの公理は互いに矛盾していることが知られています。（それについて考えるか、ここに行きます。） 他の数学者は、証明におけるこれらの公理の使用にほとんど注意を払っていません。私たちは主に有限のオブジェクトで作業していると考えているため、それらは理論的なコンピュータサイエンスとはほとんど無関係のようです。ただし、TCSは計算上の決定問題を無限ビット文字列と定義し、（たとえば）自然の漸近関数としてアルゴリズムの時間の複雑さを測定するため、これらの公理のいずれかの使用が忍び寄る可能性が常にありますいくつかの証拠に。 これらの公理の1つが必要な場所を知っているTCSで最も印象的な例は何ですか？（例を知っていますか？） 少しだけ予言するために、（すべてのチューリングマシンのセットに対する）対角化引数は、選択の公理の適用ではないことに注意してください。チューリングマシンが定義する言語は無限ビット文字列ですが、各チューリングマシンには有限の記述があるため、ここでは無限に多くの無限集合に対して選択関数を実際に必要としません。 （例がどこから来るのかわからないので、多くのタグを付けました。）

67 cc.complexity-theory  lo.logic  pl.programming-languages  big-picture  set-theory 

特定の複雑さで解決可能であることが証明されているが、実際にこの複雑さを達成するための既知のアルゴリズムがない問題への参照に出くわしたことを覚えています。 私は、これがどのように成り得るかについて心を包むのに苦労しています。アルゴリズムの存在の非構造的証明がどのように見えるか。 そのような問題は実際に存在しますか？彼らは多くの実用的な価値を持っていますか？

47 ds.algorithms  soft-question  lo.logic  proofs 

CoqやIsabelleなどの証明アシスタントにロジックをエンコードする場合、浅い埋め込みと深い埋め込みのどちらを使用するかを選択する必要があります。浅い埋め込みでは、論理式は定理証明器のロジックに直接記述されますが、深い埋め込みでは、論理式はデータ型として表されます。 さまざまなアプローチの利点と制限は何ですか？ 使用するものを決定するために利用可能なガイドラインはありますか？ 2つの表現を体系的に切り替えることは可能ですか？ 動機として、セキュリティ関連のさまざまなロジックをCoqにエンコードし、さまざまなアプローチの長所と短所を知りたいと思っています。

47 lo.logic  coq  proof-assistants 

依存型付けについて本当にしっかりと把握することに興味があります。私はTaTaのほとんどを読み、ATTaPLの「依存型」を（完全に吸収されていなければ）読みました。また、依存型付けに関する多くの記事を読み、読みました。 型理論の議論の多くは、「型システムXの次の大規模な一般化とは何か」ではなく、以前の型システムにインクリメンタル機能を追加することに焦点を当てているようです。依存型はSystem Fの次の大規模な一般化のようですが、直感的で標準的な依存型付き言語はまだ見つかっていません。（帰納的）構造の微積分への多くの言及は、CoCがその言語であると思うようにさせますが、私が見た言語の説明は、私にはあまり明確でも直観的でもないようです。 私はそのような言語が次のような機能を持っていると期待/推測しています（そして、特に何かが混乱したり非現実的なものとして飛び出したりしたら教えてください） 一般化された抽象化（型階層内の任意のドメインから他のドメイン、種類->用語、用語->型 '' 'などへの機能を持つことができます） タイピングの無限の階層があります（用語：タイプ：タイプ '：タイプ' '：...） 基本要素の最小数。私は、言語が各レベルに対して単一の要素のみを主張することを想像しています。たとえば、（（）：Unit：Type：Type '：...）と断定できます。他の要素は、これらの要素から構築されます。 合計および製品タイプは導出可能です。 私はまた、理想的に議論するその言語の説明を探しています： その言語での抽象化と定量化の関係。統一されていない場合は、なぜ統一されていないのかを説明してください。 無限の型階層を明示的に 依存型理論を学びたいだけでなく、CSのバックグラウンドを少し仮定して、証明アシスタントと依存型言語の使用方法を理解する方法を教えるガイドをまとめたいので、この質問をしています。 （クロスがRedditに投稿）

46 lo.logic  type-theory  dependent-type 

質問：プルーフアシスタントで「戦術」はどのように機能しますか？それらは、用語を等価用語に書き換える方法を指定する方法のようです（「等価」の定義のため）。おそらくこれには正式なルールがありますが、それらが何であり、どのように機能するかをどのように知ることができますか？彼らはベータ削減のための順序の選択以上のものを含みますか？ 私の興味に関する背景：数ヶ月前、私は正式な数学を学びたいと決めました。予備調査からは正しい方法（TM）のように見え、魅力的なプログラミングと数学を統一するように思われるため、型理論を採用することにしました。私の最終的な目標は、Coqのような証明アシスタントを使用して理解できるようにすることだと思います（特に、行列のタイプを表すようなものに興味があるので、依存型を使用できると思います）。私は、初歩的な関数型プログラミングでさえほとんど知らずに始めましたが、ゆっくりと進歩しています。型とプログラミング言語（Pierce）の大部分を読んで理解し、HaskellとMLをいくつか学びました。

44 lo.logic  type-theory  proof-assistants 

Applicativeカテゴリ理論の観点から理解したいと思います。 のドキュメントにApplicativeは、それは強力な緩いモノイダルファンクターであると書かれています。 第一に、モノイドのファンクターに関するウィキペディアのページでは、モノイドのファンクターは緩いか強いのいずれかであると述べています。したがって、ソースのいずれかが間違っているか、用語が異なって使用されているように思えます。誰もそれを説明できますか？ 第二に、Applicativeモノイドのファンクターであるモノイドのカテゴリーは何ですか？ファンクターは、標準のHaskellカテゴリー（オブジェクト=タイプ、モーフィズム=関数）の内部ファンクターであると仮定しますが、このカテゴリーのモノイド構造が何であるかはわかりません。 手伝ってくれてありがとう。

40 lo.logic  type-theory  functional-programming  ct.category-theory 

CIS 500のコースノートを見ていきます。ソフトウェアの基礎と演習はとても楽しいです。私は3番目の練習セットにいるだけですが、戦術を使って次のようなことを証明するときに何が起こっているのかをもっと知りたいですforall (n m : nat), n + n = m + m -> n = m.

40 lo.logic  type-theory  proof-assistants  proof-theory  coq 

これはに関連した質問です。この1。そこでの多くの議論の後、はるかに単純な形で再びそれを置くと、それは全く異なる質問のように感じました。 停止問題の決定不能性の古典的な証明は、仮想HALT決定子をそれ自体に適用しようとするときに矛盾を示すことに依存します。これは、それ自体が停止するかどうかを決定するが、他のケースの停止の決定可能性に関する情報を提供しないHALT決定者を持つことが不可能であることを示しているだけだと思います。 だから質問は HALTが自分自身を決定できず、対角化引数にも依存していないことを示すことに依存しない停止問題が決定不能であることの証拠はありますか？ 小さな編集：質問の元の表現にコミットします。これは、（HALTに依存する対角化に依存しないことを単に要求するのではなく）ダイアゴナル化にまったく依存しない証明を求めています。

40 computability  lo.logic  proofs 

Immerman-Vardiの定理は、 PTIME（又はP）は、秩序構造のクラスの上に、固定小数点演算子とともに第1順序論理の文によって記述することができる言語のクラスが正確であることを述べています。固定小数点演算子は、最小固定小数点（ImmermanおよびVardiで検討）またはインフレ固定小数点のいずれかです。（Stephan Kreutzer、最小およびインフレ固定小数点論理の表現的同等性、純論と応用論理の年報130 61–78、2004）。 ユリ・グレビッチは、PTIMEを捕捉するロジックはないと推測しました（論理とコンピューターサイエンスの挑戦、理論的コンピューターサイエンスの現在の動向、エゴンボーガー編1-57、コンピューターサイエンスプレス、1988年）。あまり確実ではありません（ロジックキャプチャPTIME、FOCS 2008）。 固定小数点演算子は、再帰の力をキャプチャするためのものです。固定小数点は強力ですが、必要であることは私には明らかではありません。 FOL + XがPTIMEの（大きな）フラグメントをキャプチャするような、固定小数点に基づかない演算子Xはありますか？ 編集：私が理解する限り、線形ロジックは、非常に制限された形式を持つ構造に関するステートメントのみを表現できます。理想的には、固定小数点を避けながら、リレーショナル構造の任意のセットのプロパティを表現できるロジックへの参照またはスケッチを参照したいと思います。線形論理の表現力について間違っている場合は、ポインタまたはヒントを歓迎します。

38 cc.complexity-theory  lo.logic  descriptive-complexity  finite-model-theory 

理論的なコンピューターサイエンスと数学の境界線は必ずしも簡単に区別できるとは限らないため、かなり曖昧な質問をするつもりです。 質問： CSでZFCに依存しない興味深い結果（つまり、標準集合理論）、またはZFCで最初に証明された（+その他の公理）であり、後にZFC alorneでのみ証明された興味深い結果を知っていますか？ 私は博士論文を終えようとしているので、私の主な結果（確率論的なモーダル -calculusに「ゲームセマンティクス」を与えるために使用されるゲームのクラスの決定性）が証明されているZFCでは、他の公理（つまり、Continuum仮説およびMartinの公理の否定）で拡張されました。μμ\mu¬CH¬CH\neg CH MAMAMA そのため、設定は明らかにコンピューターサイエンスです（モーダル -calculusは時相論理であり、確率システムで動作するように拡張しています）。μμ\mu 私の論文では、この種の他の例（もし知っているなら）を引用したいと思います。 前もって感謝します、 さようなら マッテオ

37 reference-request  lo.logic  set-theory 

この質問は、mathoverflowの応用数学に関する同様の質問に触発されており、P対NPなどのTCSの重要な質問はZFC（または他のシステム）から独立している可能性があると考えていました。少しの背景として、逆数学は、特定の重要な定理を証明するために必要な公理を見つけるプロジェクトです。言い換えれば、真であると予想される定理のセットから始め、それを実現する「自然な」公理の最小セットを導き出そうとします。 TCSの重要な定理に逆数学アプローチが適用されているかどうか疑問に思っていました。特に複雑性理論に。TCSの多くの未解決の質問にデッドロックがあるため、「使用したことがない公理は何か」と尋ねるのは自然なことです。あるいは、TCSの重要な質問は、2次算術の特定の単純なサブシステムに依存しないことが示されていますか？

37 cc.complexity-theory  lo.logic  proof-complexity 

このサイトで最も議論されている質問の1つは、教会とチューリングのテーゼを反証することの意味です。これは、DershowitzとGurevichが2008年にチャーチチューリングテーゼがシンボリックロジックの速報であるという証拠を公開したことも理由の1つです。 -恥知らずな自己宣伝- 私が書いたブログエントリ。） この質問は、Ian Parberryによって定式化された拡張チャーチチューリングテーゼに関するものです。 すべての「合理的な」機械モデルの時間は、多項式によって関連付けられています。 ジョルジオマリネのおかげで、私がしている、以前の紙、Dershowitzの共著者の1つ、と彼、Falkovichの博士課程の学生を学んだ証明公表ちょうどワークショップに現れた拡張チャーチ=チューリングのテーゼ、のの開発を計算モデル2011。 私は今朝、紙を印刷したばかりで、それ以上は何もしませんでした。著者は、チューリング機械はせいぜい多項式のオーバーヘッドで任意の逐次計算装置をシミュレートできると主張しています。量子計算と大規模並列計算は明示的に対象外です。私の質問は、論文の次の記述に関連しています。 推測され、広く信じられているように、使用するデータ構造に関係なく、すべての効果的な実装は、チューリングマシンによってシミュレートでき、時間の複雑さはせいぜい多項式オーバーヘッドであることを示しました。 だから、私の質問：これは、ランダム化のない「真の」逐次計算の場合でも、本当に「広く信じられている」のでしょうか？物事がランダムな場合はどうなりますか？実際にインスタンス化できる場合、量子コンピューティングは反例のようですが、反例となる量子よりも「弱い」可能性はありますか？

35 soft-question  lo.logic  church-turing-thesis 

計算可能性とロジックのクラスを一度受講しました。この資料には、複雑性/計算可能性クラス（R、RE、co-RE、P、NP、ログスペースなど）とロジック（述語計算、1次ロジック、...）の相関関係が含まれていました。 相関には、1つのフィールドのいくつかの結果が含まれており、他のフィールドの手法を使用して取得されました。P！= NPは、ロジックの問題として攻撃される可能性があると推測されました（複雑性クラスのドメインからロジックに問題を投影することにより）。 これらのテクニックと結果の良い要約はありますか？

33 cc.complexity-theory  lo.logic  computability