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色の近似数は、Jung / Shahのアルゴリズムを使用して、マイナー除外されたグラフで簡単に思えます。一般的なグラフでは難しいが、マイナーな除外グラフでは簡単な問題の他の例は何ですか？ 更新10/24 Groheの結果に従って、有界ツリー幅グラフでテストするFPTの式は、マイナーな除外グラフでテストするFPTであるようです。さて、問題は、そのような数式の割り当てを満たすカウントの扱いやすさにどのように関係するのでしょうか？ 上記の記述は偽です。MSOLは、有界ツリー幅グラフではFPTです。ただし、3色性は、マイナー除外されていない平面グラフではNP完全です。

31 ds.algorithms  graph-theory  graph-minor 

以下では、MSOは頂点セットとエッジセットの定量化を使用したグラフの2次論理を示します。 してみましょうグラフのマイナー閉じ家族も。そのロバートソンとシーモアのグラフマイナー理論から次のFが有限のリストによって特徴付けられるH 1、H 2、。。。、禁じられた未成年者のH k。換言すれば、各グラフのG、我々はそれを持っているGがに属しF場合に限りGを除くすべてのグラフH iは、未成年者として。FF\mathcal{F}FF\mathcal{F}H1,H2,...,HkH1,H2,...,HkH_1,H_2,...,H_kGGGGGGFF\mathcal{F}GGGHiHiH_i この事実の結果として、我々は、MSOの式を有するグラフに真であるG場合に限り、G ∈ Fを。例えば、平面グラフは、グラフの不在によって特徴付けられるK 3 、3およびK 5未成年者として、従って、それが明示的に平面グラフを特徴付けるMSO式を書くことは容易です。φFφF\varphi_{\mathcal{F}}GGGG∈FG∈FG\in \mathcal{F}K3,3K3,3K_{3,3}K5K5K_5 問題は、多くの素敵なマイナークローズグラフプロパティについて、禁止されているマイナーのリストが不明であることです。そのため、グラフのファミリーを特徴付けるMSOの式が存在することはわかっていますが、この式が何であるかはわかりません。 一方、グラフのマイナー定理を使用せずに、特定のプロパティの明示的な式を思い付くことができる場合もあります。私の質問はこの可能性に関連しています。 質問1：禁止された未成年者のセットは不明ですが、そのグラフのセットを特徴付けるいくつかのMSO公式φが既知であるような、グラフマイナーなクローズドファミリはありますか？FF\mathcal{F}φφ\varphi 質問2： いくつかの明示的なMSO式は、次の特性のいくつかを特徴付けることが知られていますか？φφ\varphi 属1（グラフはトーラスに埋め込み可能） （下記の編集を参照） 固定数k（下記のEDITを参照）k>1k>1k>1 固定k > 1のk外平面性k>1k>1k> 1 この件に関するご意見やご意見をいただければ幸いです。他のマイナーな閉じたプロパティを自由に検討してください。上記のリストは例示にすぎません。 Obs：明示的に言うと、必ずしも小さいというわけではありません。指定されたプロパティを特徴付ける式を作成する方法を示す明示的な引数またはアルゴリズムを与えるだけで十分です。同様に、この質問の文脈において、禁止されている未成年者の家族は、その家族を構成する明示的なアルゴリズムを与えた場合に知られていると考えます。 編集：私はAdler、Kreutzer、Groheによる論文を見つけました。この論文は、属k-1のグラフを特徴付ける式に基づいて、属グラフを特徴付ける式を構築します。したがって、この論文は質問2の最初の2項目に答えます。一方、これは質問1には答えません。なぜなら、k属のグラフを特徴付ける禁じられた未成年者の家族であるk したがって、この家族は質問の意味で「知られている」。kkk

19 graph-theory  lo.logic  graph-minor  topological-graph-theory 

ツリー幅はFPTアルゴリズムで重要な役割を果たします。これは、多くの問題がツリー幅によってFPTパラメーター化されるためです。関連する、より制限された概念は、パス幅の概念です。グラフのパス幅が場合、ツリー幅は最大でkですが、逆方向では、ツリー幅kは最大でkのパス幅のみを意味し、log nは厳密です。kkkkkkkkkk ログnklog⁡nk\log n 上記を考えると、有界なパス幅のグラフにはアルゴリズム上の大きな利点があると期待されるかもしれません。ただし、1つのパラメーターのFPTであるほとんどの問題は、他のパラメーターのFPTであるようです。これに対する反例、つまり、パス幅は「簡単」ですが、ツリー幅は「難しい」問題について知りたいです。 私はイゴールRazgonによる最近の論文に実行することで、この質問をする動機たことを言及してみましょう（「有界木幅のCNFのために二分決定グラフで」、KR'14）で、問題の例を挙げたとき、ソリューションのkはパス幅であり、kがツリー幅の場合、（おおよそ）n kの下限です。この挙動を示す他の標本が存在するかどうか疑問に思っています。2kn2kn2^{k}nkkknknkn^kkkk 要約：ツリーの幅によってW-hardパラメーター化されているが、パス幅によってFPTパラメーター化されている自然な問題の例はありますか？もっと広く言えば、ツリー幅ではなくパス幅でパラメータ化すると、複雑さがはるかに改善されることがわかっている/信じられている問題の例はありますか？

18 parameterized-complexity  treewidth  graph-minor 

特定のグラフに特定の未成年者のセットが存在するかどうかをテストするための無料のグラフライブラリがあるかどうかを知りたいですか？

18 graph-algorithms  implementation  graph-minor 

この質問は、以前の質問の1つに似ています。Kt+2Kt+2K_{t+2}は、最大のツリー幅のグラフの禁止されたマイナーであることが知られています。ttt すべてのツリー幅のグラフに対して最小限の禁止された未成年者である、適切に構築され、パラメータ化された、グラフの完全なファミリ（完全なグラフおよびグリッドグラフ以外）がありますか？換言すれば、明示的なグラフである上のように（完全グラフはない）頂点せいぜいツリー幅のグラフの禁止軽微であり、の関数であり、？ r G r r r tGrGrG_rrrrGrGrG_rrrrrrrttt 禁止されている未成年者の完全なセットは、最大3つのツリー幅のグラフで知られています。詳細については、このウィキペディアの記事を参照してください。 ツリー幅のグラフの禁止された未成年者の完全なセットは、最大で4つ知られていますか？

17 graph-theory  co.combinatorics  treewidth  graph-minor 

よくすることが知られているK5K5K_5およびK3,3K3,3K_{3,3}平面グラフの未成年者を禁止しています。トーラスに埋め込み可能なグラフには、何百もの禁止された未成年者がいます。禁止の数未成年者の表面に埋め込みグラフの属 gでの指数関数であるG。私の質問は次のとおりです。 明示的なグラフであるGtGtG_t上のTのように頂点（完全グラフではない）GtGtG_tグラフの禁止マイナー属の表面に埋め込みされるG、Tはの関数であり、Gは？ 編集：私は次の定理が知られていることに気付きました： すべての表面Σに対して、K 3 、rがΣに埋め込まれないような整数rが存在します。K3,rK3,rK_{3,r} したがって、完全なグラフではなく、完全な2部グラフではないGtGtG_tを探しています。

16 graph-theory  co.combinatorics  graph-minor  algebraic-topology 

平面グラフはフリーです。このようなグラフは、平面またはコンポーネントのいずれかであることが知られている3連結コンポーネントに分解できます。K3 、3K3、3K_{3,3}K5K5K_5 属1のグラフのそのような「素敵な」分解はありますか？ グラフマイナーに関する独創的な研究で、RoberstonとSeymourは、マイナーを含まないすべてのグラフを「ほぼ平面」のグラフの「クリークサム」に分解できることを示しました。もちろん、これは有界グラフにも当てはまります。構造特性をよりよく理解するために、属1のグラフに固有の分解を探しています。

15 graph-theory  co.combinatorics  planar-graphs  graph-minor 

次の問題を考慮してください。 入力：無向グラフ。 出力：Aグラフのマイナーであるのすべての未成年者の中で最も高いエッジ密度を有する、すなわち、最も高い比。G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)HHHGGGGGG|E（H）| / |V（H）||E（H）|/|V（H）||E(H)|/|V(H)| この問題は研究されましたか？多項式時間で解けるのか、それともNP困難なのか？未成年者が除外されたクラスのような制限されたグラフクラスを考慮するとどうなりますか？ 代わりに最も密な部分グラフを要求すると、問題は多項式時間で解くことができます。追加のパラメータを追加し、個の頂点を持つ最も密な部分グラフを要求する場合、問題はNP完全です（これは -clique から簡単に削減できます）。kkkkkkkkk

13 graph-theory  graph-algorithms  np-hardness  graph-minor 

してみましょう 4つの頂点でサイクルすること。個の頂点とm個のエッジを持つ任意のグラフが、はいくつ存在しますか？これに下限はありますか？C4C4C_4GGGnnnm > n n−−√m>nnm>n\sqrt nC4C4C_4

12 graph-theory  graph-minor 

ましょう固定すること、およびlet Gは、（接続）のグラフです。誤解がない場合、Bodlaender [1、Theorem 3.11]の研究から、Gのツリー幅が約2 k 3以上の場合、Gには星K 1 、kがマイナーとして含まれることになります。kkkGGGGGG2k32k32k^3GGGK1,kK1,kK_{1,k} という用語を小さくできますか？つまり、少なくともkのツリー幅は、K 1 、kマイナーの存在をすでに暗示していると言えますか？どこかに証拠はありますか？2k32k32k^3kkkK1,kK1,kK_{1,k} [1] ボドレンダー、HL（1993）。深さ優先探索による線形時間マイナーテスト。Journal of Algorithms、14（1）、1-23。

12 graph-theory  treewidth  graph-minor 

場合最大次数3とのグラフであり、マイナーであるHは、Gは、のトポロジー軽微でH。GGGHHHGGGHHH ウィキペディアは、この結果をディーステルの「グラフ理論」から引用しています。この本の最新バージョンでは、Prop 1.7.4としてリストされています。この本には証拠も引用もない。 これの（元の）証拠で行方は知られていますか？ さらに、が爪のパスまたは下位区分であり、Hのマイナーである場合、GはHのサブグラフであることを証明する参照はありますか？ここでは簡単に言及していますが、参照はありません。GGGHHHGGGHHH

12 reference-request  graph-theory  co.combinatorics  graph-minor 

Courcelleの定理は、モナド2次論理で定義可能なすべてのグラフプロパティは、有界treewidthのグラフ上で線形時間で決定できると述べています。これは、最もよく知られているアルゴリズムメタ定理の1つです。 クルセルの定理に動機付けられて、私は次のような推測をしました。 推測： MSO定義可能なプロパティとする。場合ψは、平面グラフに多項式時間で解けるあり、その後、ψはマイナー-freeグラフのすべてのクラスに多項式時間で解けるです。ψψ\psiψψ\psiψψ\psi 上記の推測が明らかに間違っているかどうか、つまり、平面グラフでは多項式時間で解けるが、あるクラスのマイナーフリーグラフではNP困難なMSO定義可能なプロパティがあるかどうかを知りたいですか？ これが私の以前の質問の背後にある動機です：属gのグラフでは多項式的に解けるが、属> gのグラフではNP困難な問題はありますか？

11 graph-theory  lo.logic  treewidth  planar-graphs  graph-minor 

ロバートソン・シーモア定理は、任意のマイナー閉じ家族と言うのグラフは、有限個の禁断の未成年者を特徴とすることができます。GG\mathcal G 入力に対してが禁止された未成年者を出力するアルゴリズムはありますか、またはこれは決定不可能ですか？GG\mathcal G 明らかに、答えはが入力でどのように記述されているかに依存する可能性があります。たとえば、で与えられるのメンバーシップを決定することができ、私たちもかどうかを決定することはできません今までに何かを拒否します。が有限の数の禁止された未成年者によって与えられた場合-まあ、それは私たちが探しているものです。一定の時間内にがで停止することが保証されている場合、その答えを知りたいと思います。私はまた、が他の証明書でマイナークローズされていることが証明された関連結果（場合など）にもGG\mathcal GGG\mathcal GMGMGM_\mathcal GMGMGM_\mathcal GGG\mathcal GMGMGM_\mathcal GGGG|G||G||G|GG\mathcal GTFNPTFNPTFNPまたは間違った証拠）。 更新：私の質問の最初のバージョンは、MarzioとKimpelのアイデアに基づいて、非常に簡単であることがわかりました。次の構成を検討してください。 は、がステップで停止しない場合に限り、頂点のグラフを受け入れます。これはマイナークローズで、実行時間はのみに依存します 。MGMGM_\mathcal GnnnMMMnnn|G||G||G|

9 graph-theory  decidability  graph-minor 

Iグラフ所与いとツリー幅K及び任意度を、そしてIは、部分グラフ検索したいHのG（必ずしも誘導されるサブグラフ）のように、Hが一定程度を有し、そのツリー幅は、可能な限り高いようです。正式に私の問題は次の通りです：学位バインド選ばれたD ∈ N「最高」の機能が何であるか、F ：N → Nで、その結果を任意のグラフGと木幅K、私は（うまくいけば、効率的）部分グラフを見つけることができますHのをG最大度≤ DGGG kkkHHHGGGHHHd∈ Nd∈Nd \in \mathbb{N}f：N → Nf：N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}GGGkkkHHHGGG≤d≤d\leq dとツリー幅。f(k)f（k）f(k) もちろん、私たちは取るべきである最大の度合いとは、高いツリー幅グラフが存在しないとして、&lt; 3。以下のためにD = 3私は、あなたが取ることができることを知っているfのようにF （K ）= Ω （K 1 / 100） ChekuriとChuzhoyのに訴えることによってまたはそう、グリッドマイナー抽出結果d≥3d≥３d \geq 3&lt;3&lt;３<3d=3d=３d = 3ffff(k)=Ω(k1/100)f（k）=Ω（k1/100）f(k) = \Omega(k^{1/100})（およびそれを使用して、ツリーの高次数3のグラフ、たとえば壁をトポロジカルマイナーとして抽出します）。サブグラフの計算は（RPで）実行可能です。それははるかに簡単な問題のように見えるもののためにそれを使用することが間違っていると感じるので、しかし、これは、精巧な証拠と非常に強力な結果である：私はちょうどたい見つけるために、任意の一定程度、高木幅部分グラフ、ないような特定のものを結果で。さらに、の境界は、私が期待したほど良くありません。確かに、されて知られている、それが行うことができることをΩ （K 1 / 20）（計算の効率をあきらめるまで）、しかし、私のような何かを望んでいるだろうΩ （K ）fffΩ(k1/20)Ω（k1/20）\Omega(k^{1/20})Ω(k)Ω（k）\Omega(k)。だから、それはグラフが与えられると、それを表示することが可能であるツリー幅のk個のサブグラフが存在するG一定程度と線形ツリー幅のあるkは？GGGkkkGGGkkk ツリー幅ではなくパス幅についてもまったく同じ質問に興味があります。パス幅については、グリッドマイナー抽出の類似物がわからないので、問題はさらに神秘的です...

9 co.combinatorics  treewidth  graph-minor  bounded-degree 

この質問は2つあり、主に参照指向です。 詳細にはあまり触れずに、グラフのマイナー定理を証明するための主な直感が与えられる場所はありますか？証明が長くて難しいことは知っていますが、より簡単な方法で伝達できる重要なアイデアが必ずあるはずです。 グラフに、準次数よりも単純な方法で、準順序であると示すことができる他の関係はありますか？（明らかに、サイズの比較など、ここでの簡単な結果には興味がありません）。有向グラフも問題の範囲内です。

9 reference-request  graph-theory  graph-minor