最も密なマイナーの計算の複雑さ

次の問題を考慮してください。
入力：無向グラフ。 出力：Aグラフのマイナーであるのすべての未成年者の中で最も高いエッジ密度を有する、すなわち、最も高い比。$G=(V,E)$
$H$$G$$G$$|E(H)|/|V(H)|$

この問題は研究されましたか？多項式時間で解けるのか、それともNP困難なのか？未成年者が除外されたクラスのような制限されたグラフクラスを考慮するとどうなりますか？

代わりに最も密な部分グラフを要求すると、問題は多項式時間で解くことができます。追加のパラメータを追加し、個の頂点を持つ最も密な部分グラフを要求する場合、問題はNP完全です（これは -clique から簡単に削減できます）。$k$$k$$k$

わかりました、答えの方法にはまだ何もありませんので、少なくともいくつかの簡単な観察をさせてください：

有界ツリー幅のグラフの場合、ツリー分解の通常の種類の動的プログラムによって、最も密度の高いマイナー（または指定された数のエッジと頂点を持つマイナー）を見つけることができるはずです。動的プログラムの各状態は分解のサブツリーに存在するマイナーの一部のエッジと頂点の数、マイナーに関与する分解のバッグの頂点のサブセット、全体のマイナーな収縮によって引き起こされるこのサブセットの頂点間の同等性グラフ、およびサブツリーに住んでいる未成年者の部分の収縮によって引き起こされるこの等価関係の改良。

その場合、密度が3未満の場合、多項式時間で最も密度の高いマイナーを見つけることができるはずです（密度が3にどれだけ近いかに依存する定数係数を使用）。なぜなら、最も密度の高いマイナーが密度持つグラフには、平面で禁止されたマイナーがあり、したがって、ツリー幅が制限されているからです。$\le 3-\epsilon$

私はBodaenderらの論文で密接に関連した問題を発見しました。al。。彼らは、縮退縮退と呼ばれる問題、つまり、与えられたグラフとについて、すべての未成年者が縮退であるかどうかを決定する問題を考慮します。グラフのすべてのサブグラフのエッジ密度と縮退は非常に似た概念です（グラフに平均次数サブグラフが含まれている場合、最小次数サブグラフも含まれています）。最も密な未成年者を見つける問題もNP完全であるということです。$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$

実際、縮退の方がはるかに優れているため、この論文には非常に満足しています。自然数のみが縮退として表示され、サブグラフの平均次数は任意の有理数になる場合があります。また、この論文は、ロバートソンとシーモアのグラフマイナー理論を使用して、固定パラメータの扱いやすさの非常に短い証明を提供します。最大で縮退縮退を持つグラフのクラスは、未成年者の取得中に閉じられるため、除外された未成年者の有限セットによって記述されます。したがって、固定場合、時間で実行されるクラスの包含をテストするためのアルゴリズムがあります。$k$$k$$O(n^3)$