未成年者を示す引用は、サブキュービックグラフの位相的未成年者です。

場合最大次数3とのグラフであり、マイナーであるHは、Gは、のトポロジー軽微でH。$G$$H$$G$$H$

ウィキペディアは、この結果をディーステルの「グラフ理論」から引用しています。この本の最新バージョンでは、Prop 1.7.4としてリストされています。この本には証拠も引用もない。

これの（元の）証拠で行方は知られていますか？

さらに、が爪のパスまたは下位区分であり、Hのマイナーである場合、GはHのサブグラフであることを証明する参照はありますか？ここでは簡単に言及していますが、参照はありません。$G$$H$$G$$H$

場合最大次数3とのグラフであり、マイナーであるHは、Gは、のトポロジー軽微でH。$G$$H$$G$$H$

はHのマイナーであるため、エッジ、孤立した頂点を削除し、エッジの収縮を実行することにより、HからGを取得できます。また、サブグラフ操作が最初に行われることを主張できることを示すのも簡単です。つまり、最初にすべてのエッジと頂点の削除を実行し、次にすべてのエッジの収縮を実行できます。さらに、頂点の1つが次数1であるエッジの縮小を許可しないように「エッジ縮小」の定義を制限します。そのようなエッジを縮小することは削除するのと同じです。$G$$H$$G$$H$

ましょから得られたグラフであるHまずエッジ/頂点の削除を行うことによって。H ′にはまだマイナーとしてGが含まれています。トポロジカルマイナーの定義でもエッジ/頂点の削除が許可されるため、H ′がトポロジマイナーとしてGを含むことを示した場合、これで完了です。$H'$$H$$H'$$G$$H'$$G$

はエッジ収縮のみによってH 'から取得できるため、エッジ収縮を実行してグラフの最大次数を減らす方法がないため、H 'およびすべての中間グラフには最大次数3が必要です。（次数1の頂点に入射するエッジの収縮を許可した場合、これは可能だったでしょう。）$G$$H'$$H'$

からGへの変換の任意のステップを検討してください。縮小できるエッジのタイプは、次数2の頂点、または次数2の頂点と次数3の頂点の両方を持つエッジのみです。（他のすべての組み合わせは機能しません。たとえば、2次の3つの頂点を持つエッジは、縮んだときに4次の頂点を生成します。）$H'$$G$

今、我々が完了している場合ので、から得られるH 2 2度-2の頂点と辺を縮小し、その後、H 2から得られるH 1、その縁部にエッジ細分割を行うことによって。同様に、1つの次数3の頂点と1つの次数2の頂点を持つエッジの場合。したがって、エッジの細分割のみを実行することで、GからH 'を取得できます。つまり、GはH 'のトポロジカルマイナーであり、したがってHです。$H_1$$H_2$$H_2$$H_1$$H'$$G$$G$$H'$$H$

場合パスまたは爪の細分であり、マイナーであるH次いでGはのサブグラフである$G$$H$$G$$H$

これは、前の結果が得られたら簡単に表示できます。パスと爪の再分割は最大次数3を有しているのであれば、マイナーであるHそれはまた、トポロジカル軽微でH。これは、エッジのサブディビジョンのみを実行することでGから取得できるHのサブグラフがあることを意味します。これで、パスのすべてのエッジ細分化または爪の細分割が、サブグラフとしてオリジナルを含むグラフにつながることを、誘導によって簡単に示すことができます。たとえば、長さkのパスを細分割すると、長さk + 1のパスになり、長さkのパスがサブグラフとして含まれます。爪の細分化についても同様です。$G$$H$$H$$H$$G$

また、論文に対してこの結果が必要だったため、論文に短い証明を含めました。結果は、マイナークローズグラフプロパティのクアンタムクエリの複雑さで確認できます。13ページで言及されていますが、この事実は何か他の証拠に隠されており、定理として明示的には述べられていません。

また興味深いのは、この定理に反論があることです。

のみグラフ含有れるGのマイナーが含有することに等価であるようにGのサブグラフは、各連結成分がパス又は爪の細分化されたものです。$G$$G$$G$