ツリー幅

ましょう固定すること、およびlet （接続）のグラフです。誤解がない場合、Bodlaender [1、Theorem 3.11]の研究から、のツリー幅が約以上の場合、には星がマイナーとして含まれることになります。 $k$ $G$ $G$ $2k^3$ $G$ $K_{1,k}$

という用語を小さくできますか？つまり、少なくともツリー幅は、マイナーの存在をすでに暗示していると言えますか？どこかに証拠はありますか？ $2k^3$ $k$ $K_{1,k}$

[1] ボドレンダー、HL（1993）。深さ優先探索による線形時間マイナーテスト。Journal of Algorithms、14（1）、1-23。

graph-theory treewidth graph-minor

— ジュホ
ソース

DemaineとHajiaghayiからの大まかに関連した結果：固定グラフ

場合、ツリー幅

マイナーフリーグラフは

グリッドグラフマイナーを持ちます。

H

$H$

H

$H$

w

$w$

Ω (w) \times Ω (w)

$\Omega(w) \times \Omega(w)$

— ムム

@mhumの定数

に指数関数的に依存します

、これを直接適用すると、

バウンドよりも悪くなります。

Ω

$\Omega$

| H |

$|H|$

2 k^{3}

$2k^3$

— daniello

@daniello確かにそうです。定数はあまり良いものではなく、

マイナーフリーグラフへの特殊化も優れていません。漠然と関連した結果を指摘したかっただけです。

H

$H$

— ムム

確かに、 minor を持たないすべてのグラフツリー幅は最大でです。以下に、最初にいくつかの定義を示します。 $G$ $K_{1,k}$ $k-1$

ましょうのツリー幅であるおよびにおけるクリークの最大の大きさ。グラフの三角測量ある場合の部分グラフである及び（すなわちない少なくとも上のサイクルを誘発した弦である頂点）。三角測量ののない適切なサブグラフ場合最小三角形分割であるまた、三角測量のではない。の頂点のサブセット $tw(G)$ $G$ $\omega(G)$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$ $H$ $4$ $H$ $G$ $H$ $G$ $X$ $G$ ある潜在的最大クリーク最小の三角測量が存在する場合、のように、の最大クリークでは $H$ $G$ $X$ 。これはよく知られているここで、最小値は、すべての最小の三角形引き継がれるの。 $H$

t w (G) = min_{H} ω (H) - 1

$tw(G) = \min_{H} \omega(H) - 1$

H

$H$

G

$G$

上記式は、証明することを意味し、すべての可能性のある最大のクリークことを証明するのに十分であり、最大でサイズを有する。これを証明します。ましょの潜在的な最大のクリークも、およびそれを仮定。 $tw(G) \leq k-1$ $G$ $k$ $X$ $G$ $|X| \geq k+1$

潜在的な最大クリークの次の特性評価を使用します：頂点セットは、すべてのペア、の非隣接（別個の）頂点のにパスがある場合にのみ、潜在的な最大クリークですからへにおけるの外側のすべての内部頂点を有する。この特徴は、論文「ツリー幅と最小フィルイン：ブイチッテとトディンカによる最小セパレータのグループ化」に記載されています。 $X$ $G$ $u$ $v$ $X$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $G$ $X$

この特性化により、からマイナーを簡単に導出できます。してみましょう。すべての頂点のための、いずれかののエッジであるまたはパスが存在するからへの外側の全ての内部頂点を有する。すべてのためにに非隣接しているのすべての内部頂点収縮 $K_{1,k}$ $X$ $u \in X$ $v \in X \setminus \{u\}$ $uv$ $G$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $X$ $v \in X$ $u$ をます。私たちは、マイナーで終わるここですべてに隣接している、および。したがって、このマイナーのの次数は少なくともであり、証明を完了します。 $P_{u,v}$ $u$ $G$ $u$ $X$ $|X| \geq k+1$ $u$ $k$

— ダニエロ
ソース

ダニエルありがとう！同じ引数（または実際に結果）がどこかで公開されているかどうかをたまたま知っていますか？

— 十宝

K_{2, r}

$K_{2,r}$