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ましょグラフのパラメータ（例：直径、支配番号など）でありますsss グラフのファミリーは、任意のグラフに対して、のツリー幅が最大ような 関数がある場合、 -treewidthプロパティを持ちます。FF\mathcal{F}sssfffG ∈ FG∈FG\in \mathcal{F}GGGf（秒）f（s）f(s) たとえば、とを平面グラフのファミリーとしましょう。次に、直径が最大で平面グラフのツリー幅は最大でことがわかっています。より一般的には、Eppsteinは、一部の頂点グラフをマイナーとして除外する場合にのみ、グラフのファミリーにdiameter-treewidthプロパティがあることを示しました。そのようなファミリーの例は、一定の属などのグラフです。F s O （s ）s = d i a m e t e rs=d私aメートルeters = \mathit{diameter}FF\mathcal{F}sssO （s ）O（s）O(s) 別の例として、ます。FominとThilikosは、にローカルツリー幅がある場合にのみ、グラフのファミリがdomination-number- treewidthプロパティを持っていることを示すことにより、エップスタインのアナログ結果を証明しました。これは、にdiameter-treewidthプロパティがある場合にのみ発生することに注意してください。s = d o m i n a t i o n − n u m b e rs=doメートル私んat私oん−んあなたメートルbers = \mathit{domination{-}number}FFF\mathcal{F}FF\mathcal{F} 質問： 平面グラフで保持することが知られている -treewidthプロパティはどのグラフパラメーターですか？sssssss …

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定義：「チェーン」は、すべてのエッジを複製することによって長さパスから取得されるマルチグラフです。kkkkkk チェーンの2つのエンドポイント間のパスの数はであることに注意してくださいkkk2k.2k.2^k. 質問：レッツ単純n個のノードのグラフおよびletこと及び二ノードである（シンプル）の数を仮定でSからTへの経路少なくともある次に、エッジの削除と収縮のシーケンスによって、（とを終点として）からチェーンを取得することは可能ですか？GGGssstttG.G.G.GGGnk.nk.n^k.Ω(k)Ω(k)\Omega(k)GGGsssttt 答えが正の場合、問題の2番目の部分は、そのような大きなチェーンを取得するための効率的なアルゴリズムがあるかどうかです。 私は -chainまたはでも同様に満足しk−−√k\sqrt kkαkαk^\alphaα>0.α>0.\alpha >0. そのような推測が成立するかどうかについての部分的な答えや直感に感謝します。 数日前にこれを数学のオーバーフローに投稿しました。誰かがここにも投稿することを提案しました。 /mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor

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Thor Johnsonらの論文：Directed Tree Widthは、有向グリッド定義を紹介し、次のように推測しています。JkJkJ_k すべての整数 kに対して、ツリー幅 N以上のすべてのダイグラフが J kにマイナー同型になるような整数 Nが存在します。（5.1 ）（5.1）(5.1)kkkNNNNNNJkJkJ_k そして彼らは続けて言った： は平面ダイグラフにも当てはまると確信していますが、一般的なケースはオープンです。（5.1 ）（5.1）(5.1) そして、私はこの未発表の論文（彼らが二平面グラフの予想をどのように証明したか）、またはこの場合の関連するもの、実際にはそのようなグリッドの使用方法（つまり）を探しています。JkJkJ_k

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