多数のパスを持つグラフには、大きなチェーンマイナーが含まれていますか？

定義：「チェーン」は、すべてのエッジを複製することによって長さパスから取得されるマルチグラフです。 $k$ $k$

チェーンの2つのエンドポイント間のパスの数はであることに注意してください $k$ $2^k.$

質問：レッツ単純n個のノードのグラフおよびletこと及び二ノードである（シンプル）の数を仮定でSからTへの経路少なくともある次に、エッジの削除と収縮のシーケンスによって、（とを終点として）からチェーンを取得することは可能ですか？ $G$ $s$ $t$ $G.$ $G$ $n^k.$ $\Omega(k)$ $G$ $s$ $t$

答えが正の場合、問題の2番目の部分は、そのような大きなチェーンを取得するための効率的なアルゴリズムがあるかどうかです。

私は -chainまたはでも同様に満足し $\sqrt k$ $k^\alpha$ $\alpha >0.$

そのような推測が成立するかどうかについての部分的な答えや直感に感謝します。

数日前にこれを数学のオーバーフローに投稿しました。誰かがここにも投稿することを提案しました。

/mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor

graph-theory graph-algorithms graph-minor

— ラガヴ・クルカルニ
ソース

それが反例であるかどうかを確認するために、再帰的なダイアモンドグラフをチェックする価値があるかもしれません。cstheory.stackexchange.com/questions/10169/...

— チャンドラChekuri

それは興味深いグラフです。しかし、これは「 -chain予想」の反例ではないように思えます。しかし、これは " -chain Conjecture"のためかもしれません。まだ分からない。

k^{α}

$k^\alpha$

Ω (k)

$\Omega(k)$

— Raghav Kulkarni 14

それもため反例ないがカウンタ例だ場合ので、、その後の度最大である、及び最長の長さパスは、それから stパスはありませんが、後者の場合、再び不可能であると仮定します（実際にはそのグラフではnはf（k）ですが、矛盾は生じません）定理へ、それからは指数関数です）。

Ω (k)

$\Omega(k)$

Ω (k)

$\Omega(k)$

s

$s$

O (k)

$O(k)$

s, t

$s,t$

O (k)

$O(k)$

n^{k}

$n^k$

n = f (k)

$n=f(k)$

f

$f$

— サイード

反例がMathOverflowに投稿されています：mathoverflow.net/questions/161451/…質問の「正しい」変更は、少なくとも平面グラフなどのいくつかの自然なグラフクラスに対しては当てはまるかもしれないとまだ感じています。

— Raghav Kulkarni 14

1つのバリエーションはおそらくこれです：すべてのリンクグラフにはチェーンが含まれますが、これは非常に明白なバリエーションです。

k

$k$

k

$k$

— 2014

回答:

これは固定 FPTアルゴリズムのようです。まず最初に、を含むブロックを考えることができます。を含むグリッドマイナーがある場合、対応するチェーンを見つけることができます。他の場合と同様に、チェクリ等。示されているように、グラフのツリー幅は最大でで、は一定です。したがって、グラフのツリー分解を計算してから、そのチェーンが存在するかどうかを確認できます。境界ツリー幅のグラフの通常の動的プログラミングでチェーンを見つけることができるかどうかはわかりません。また、が境界ツリー幅でない場合、それらのアルゴリズムは対応するグリッドを多項式時間で見つけることができます。 $k$ $s,t$ $k\times k$ $s,t$ $O(k^{1/\delta})$ $\delta > 0$

PS： stパスがあるという事実を使用しなかったことに注意してください。この事実の中にあるトリックによって、より良いアルゴリズムを取得できる可能性があります。 $n^k$

— サイード
ソース

つまり、「削除収縮によって得られる最大のチェーン」は、扱いやすい固定パラメータであるように思われます。それは面白いね！ただし、これは、多数のパスを持つ結果としての大きなチェーンの存在については何も伝えません。

— Raghav Kulkarni 14

@RaghavKulkarni、はい、そうだと思いますが、確かではありませんが、MSO_2として問題を定式化したり、境界ツリー幅のケースに動的プログラミングアプローチを提供したりできる場合は、実際には問題は双方向の問題のカテゴリにあるようです。

— 2014

また、ような非常に大きなグリッドは必要ありません。これは、小さなケース、パスだけを探しているため、実行時間を改善することが可能です（私ははるかに良いと思いますし、、つまり、poly log kのようなものが機能する場合、それは非常に優れているか、または指数関数的FPTアルゴリズムです）。

K \times K

$K\times K$

2^{k}

$2^k$

P

$P$

— 2014

上記の反例がMathOverflowに投稿されています。

/mathpro/161006/do-graphs-with-large-number-of-cycles-always-contain-large-necklace-minor

/mathpro/161451/do-graphs-with-large-number-of-paths-contain-large-chain-minor?lq=1

まだ当てはまる質問の「正しい」修正はありますか？

— ラガヴ・クルカルニ
ソース