Something-Treewidthプロパティ

ましょグラフのパラメータ（例：直径、支配番号など）であります$s$

グラフのファミリーは、任意のグラフに対して、のツリー幅が最大ような 関数がある場合、 -treewidthプロパティを持ちます。$\mathcal{F}$$s$$f$$G\in \mathcal{F}$$G$$f(s)$

たとえば、とを平面グラフのファミリーとしましょう。次に、直径が最大で平面グラフのツリー幅は最大でことがわかっています。より一般的には、Eppsteinは、一部の頂点グラフをマイナーとして除外する場合にのみ、グラフのファミリーにdiameter-treewidthプロパティがあることを示しました。そのようなファミリーの例は、一定の属などのグラフです。F s O （s $s = \mathit{diameter}$$\mathcal{F}$$s$$O(s)$

別の例として、ます。FominとThilikosは、にローカルツリー幅がある場合にのみ、グラフのファミリがdomination-number- treewidthプロパティを持っていることを示すことにより、エップスタインのアナログ結果を証明しました。これは、にdiameter-treewidthプロパティがある場合にのみ発生することに注意してください。$s = \mathit{domination{-}number}$$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$

質問：

1. 平面グラフで保持することが知られている -treewidthプロパティはどのグラフパラメーターですか？$s$$s$
2. 制限されたローカルツリー幅のグラフで保持することがわかっている -treewidthプロパティはどのグラフパラメーターですか？$s$$s$
3. 他のグラフのファミリはありますか？ -treewidthプロパティがいくつかの適切なパラメータに対して保持されている、制限されたローカルツリー幅のグラフに匹敵しませんか？$s$$s$

これらの質問は、二次元性の理論と何らかの関係があると感じています。この理論には、いくつかの重要なパラメーターがあります。たとえば、フィードバック頂点セット、頂点カバー、最小最大マッチング、面カバー、支配セット、エッジ支配セット、R支配セット、接続支配セット、接続エッジ支配セット、接続R支配セットなどのサイズ。

4. 二次元性理論で遭遇するパラメーターは、いくつかの適切なグラフのファミリーに対して -treewidthプロパティを持っていますか？$s$$s$

質問：すべての2次元パラメーターは、一般的なグラフでこの特性を持っています。パラメータS （G ）の値場合に二次元であるS （G ）≥ S （H ）毎マイナーのためのHのG、及びもしsがグリッド上で'' ``大きいです。$1$$s(G)$$s(G) \geq s(H)$$H$$G$$s$

PTAS、サブ指数アルゴリズム、およびマイナーフリーグラフのカーネルのアプリケーションでは、「大」とは、定数が存在することを意味します。つまり、t倍のtグリッドのsの値は少なくともc t 2です。これは、「二次元性」をグーグルで検索した場合に最もよく見つかるものです$c$$s$$t$$t$$ct^2$

しかし、あなたの質問のためにあれば十分である上無限に成長トン倍のtとしてグリッドtは無限に成長します。これは、ツリー幅が十分に大きいグラフには、グリッドマイナーが十分に含まれるためです。したがって、結論として、sの場合：$s$$t$$t$$t$

• 未成年者の下で閉鎖されています
• 十分なtのtグリッドtグリッドで任意に大きい

次に、sにはs-treeewidthプロパティがあります。詳細については、treewidthの章の最近のパラメーター化された複雑さの本（http://parameterized-algorithms.mimuw.edu.pl）を参照してください。

リストの中で、一般的なグラフの場合、（少なくとも）頂点カバー番号とフィードバック頂点セットのサイズ。

1. グラフに最大でサイズの頂点カバーがある場合、グラフの幅は最大で…？$s$$\dots$

2. グラフに最大でサイズのフィードバック頂点セットがある場合、グラフのツリー幅は最大で…？$s$$\dots$