色の近似数は、Jung / Shahのアルゴリズムを使用して、マイナー除外されたグラフで簡単に思えます。一般的なグラフでは難しいが、マイナーな除外グラフでは簡単な問題の他の例は何ですか？
更新10/24 Groheの結果に従って、有界ツリー幅グラフでテストするFPTの式は、マイナーな除外グラフでテストするFPTであるようです。さて、問題は、そのような数式の割り当てを満たすカウントの扱いやすさにどのように関係するのでしょうか？
上記の記述は偽です。MSOLは、有界ツリー幅グラフではFPTです。ただし、3色性は、マイナー除外されていない平面グラフではNP完全です。
回答:
知られている最も一般的な結果はGroheによるものです。2010年7月に要約が発表されました。
要するに、カウントを伴う固定小数点ロジックで表現可能なステートメントには、少なくとも1つの除外されたマイナーを持つグラフのクラスで多項式時間アルゴリズムがあります。（FP + Cは、固定小数点演算子と、定義可能な頂点セットのカーディナリティを提供する述語で拡張された1次論理です）。重要な考え方は、マイナーを除外すると、クラス内のグラフが固定小数点ロジックで定義可能なツリー状の分解を順序付けできるようになることです（カウントなし）。
したがって、FP + Cで定義できるが数えにくいプロパティを検討することで、質問に対する多数の回答を得ることができます。
編集：これが実際にあなたの質問に答えるかどうかはわかりませんが、あなたのアップデートについてはそうではありません。Groheの結果へのポインタとステートメントは正しいですが、削除されたテキストはあなたの質問に関連しているとは思いません。（これを指摘してくれたStephan Kreutzerに感謝します。）明確にする価値があるかもしれません。一般的には難しいが、マイナーな除外クラスでは簡単なカウント問題、または決定問題が必要ですか？
マイナークローズグラフファミリの興味深い特性は、縮退を制限していることです。です。これは、有界縮退のグラフで簡単な問題はすべて、マイナークローズドファミリーのグラフでは簡単であることを意味します。
そのため、たとえば、グラフにサイズkのクリークが含まれているかどうかを見つけることは通常難しい問題であり、最適なアルゴリズムはようなものです。ただし、縮退が定数であることを知っている場合、k-クリークは線形時間、つまりO（n）時間で見つけることができます。クリークの問題に関するウィキペディアの記事でも、これに関する情報が提供されています。（正確な実行時間はO （k d （G ）k n ）のようなものです。）このアルゴリズムは千葉と西関です。
他の例は、MathOverflowのDavid Eppsteinによる、有界縮退を持つグラフに関する同様の質問に対するこの回答にあります。
補足として、マイナー除外されたグラフのアルゴリズムの別の有用な特性は、これらのグラフに小さなセパレータがあることですです。より正確には、
グラフでマイナーを除くセパレータを見つける線形時間アルゴリズム、ブルースリード、デビッドR.ウッド、アルゴリズムに関するACMトランザクション、2009年
サイズのセパレータを見つける線形時間アルゴリズムがある、またはOは（N 3 / 2 + M ）サイズのセパレータを見つける時間アルゴリズムOを（N 1 / 2）。
セパレーターは動的計画法に適しています。また、NP完全問題の多くは、近似比の良い高速アルゴリズムを備えていることが示されています。たとえば、解は最適な定数またはPTASの一定因子内にあります。 平面グラフ、および一般に、有界グラフは、マイナーな除外されたグラフの問題を解決しようとするときの良い出発点です。
一般的なグラフよりも除外されたマイナーグラフの方が、NP困難な問題を大幅に改善できる（またはPTASのいずれか）ことを示す多くの論文があります。たとえば、以下を参照してください。
アルゴリズムグラフマイナー理論： Demaine、Hajiaghayi、およびKawarabayashiによる分解、近似、および色付け
この論文では、Robertson＆Seymourの定理によって保証された除外マイナーグラフの特定の（やや複雑な）分解のアルゴリズムバージョンを提供します。また、その中の参照も確認してください。