有界グラフの禁止された未成年者

よくすることが知られている $K_5$ および $K_{3,3}$ 平面グラフの未成年者を禁止しています。トーラスに埋め込み可能なグラフには、何百もの禁止された未成年者がいます。禁止の数未成年者の表面に埋め込みグラフの属 gでの指数関数であるG。私の質問は次のとおりです。

明示的なグラフである $G_t$ 上のTのように頂点（完全グラフではない） $G_t$ グラフの禁止マイナー属の表面に埋め込みされるG、Tはの関数であり、Gは？

編集：私は次の定理が知られていることに気付きました：

すべての表面Σに対して、がΣに埋め込まれないような整数rが存在します。 $K_{3,r}$

したがって、完全なグラフではなく、完全な2部グラフではない $G_t$ を探しています。

— シヴァ・キンタリ
ソース

だから、きちんと構成された、パラメーター化された、あらゆる属の表面の未成年者であるグラフの完全なファミリー（完全なグラフ以外）が必要ですか？

— デリックストーリー

@デリック。はい。正確に。

— シヴァキンタリ

その後、私はこれらの用語を使用して問題を修正してくださいだろう：「（構築物への単純な）があるグラフのファミリー

なるように

グラフの最小禁制マイナーはA属に埋め込みされ、

面？」

{H_{g} : g \geq 1}

$\{ H_g : g \geq 1\}$

H_{g} ≇ K_{n}

$H_g \not\cong K_n$

g

$g$

— デリックストリー

「

及び

の未成年者ではありません

」制約は、あなたが望むものをすることはできません。それらが

未成年者でない場合、

は平面であり、より高い属の禁じられた未成年者になることはできません。

K_{5}

$K_5$

K_{3, 3}

$K_{3,3}$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

— デビッドエップスタイン

@DavidEppstein変更を削除しました。基本的に、

および

と「異なる」障害物を探しています。

K_{5}

$K_5$

K_{33}

$K_{33}$

— シヴァキンタリ

互いに素な組合のコピー（又は）属のグラフの最小禁止マイナーである。同グラフのブロックであるように、これらのコピーの一部は、単一の頂点を共有するグラフについても同様であるもしくは。これは、J。Battle、F。Harary、Y。Kodama、JWT Youngs、「グラフの属の加法性」、Bull。アメル。数学。Soc。68（1962）565–568であり、少なくとも指数関数的に多くの禁じられた未成年者がいることを示すのに十分です。 $n$ $K_5$ $K_{3,3}$ $n-1$ $K_5$ $K_{3,3}$

Bojan Mohar、「表面にグラフを埋め込む障害」、離散数学。78（1989）135-142、リストから形成されたグラフので属2を有するように4サイクルを除去することにより、いずれかのことがトロイダルであり、この手段またはそのスパニングサブグラフの一方が障害物でありますトーラス埋め込み、およびブロックとしてこのグラフのコピーを持つグラフは、属持ちます。 $K_8$ $K_7$ $K_8\setminus C_4$ $n$ $2n$

Moharはまた、グラフから形成されたことを示している全ての奇数の頂点に全ての偶数の頂点と頂点1、頂点0を接続することにより-cycleは、少なくとも「相対属」を有する。グラフは平面ですが、相対的な属は、サイクルが面でなければならないことを意味すると思います。または、すべてのサイクル頂点に接続された別の頂点をグラフに追加して、強制的に面にすることができます。たぶん、これはあなたが望むものに近いでしょう。しかし、これらのグラフが最小限の禁じられた未成年者であることを彼が示しているとは思わない。 $(2k+2)$ $\lceil k/2\rceil$

— デビッド・エップスタイン
ソース

(2 k + 2)

$(2k+2)$