ツリー幅が広く、次数が一定のサブグラフを見つける

Iグラフ所与いとツリー幅K及び任意度を、そしてIは、部分グラフ検索したいHのG（必ずしも誘導されるサブグラフ）のように、Hが一定程度を有し、そのツリー幅は、可能な限り高いようです。正式に私の問題は次の通りです：学位バインド選ばれたD ∈ N「最高」の機能が何であるか、F ：N → Nで、その結果を任意のグラフGと木幅K、私は（うまくいけば、効率的）部分グラフを見つけることができますHのをG最大度≤ $G$ $k$$H$$G$$H$$d \in \mathbb{N}$$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$G$$k$$H$$G$$\leq d$とツリー幅。$f(k)$

もちろん、私たちは取るべきである最大の度合いとは、高いツリー幅グラフが存在しないとして、< 3。以下のためにD = 3私は、あなたが取ることができることを知っているfのようにF （K ）= Ω （K 1 / 100） ChekuriとChuzhoyのに訴えることによってまたはそう、グリッドマイナー抽出結果$d \geq 3$$<3$$d = 3$$f$$f(k) = \Omega(k^{1/100})$（およびそれを使用して、ツリーの高次数3のグラフ、たとえば壁をトポロジカルマイナーとして抽出します）。サブグラフの計算は（RPで）実行可能です。それははるかに簡単な問題のように見えるもののためにそれを使用することが間違っていると感じるので、しかし、これは、精巧な証拠と非常に強力な結果である：私はちょうどたい見つけるために、任意の一定程度、高木幅部分グラフ、ないような特定のものを結果で。さらに、の境界は、私が期待したほど良くありません。確かに、されて知られている、それが行うことができることをΩ （K 1 / 20）（計算の効率をあきらめるまで）、しかし、私のような何かを望んでいるだろうΩ （K $f$$\Omega(k^{1/20})$$\Omega(k)$。だから、それはグラフが与えられると、それを表示することが可能であるツリー幅のk個のサブグラフが存在するG一定程度と線形ツリー幅のあるkは？$G$$k$$G$$k$

ツリー幅ではなくパス幅についてもまったく同じ質問に興味があります。パス幅については、グリッドマイナー抽出の類似物がわからないので、問題はさらに神秘的です...

Julia Chuzhoyと私自身によるTreewidth sparsifiersに関する論文を参照してください。ツリー幅を使用して、最大3次のサブグラフを取得できることを示します。ここで、kはGのツリー幅です。 https://arxiv.org/abs/1410.1016証明はグリッドマイナーの証明よりも短いですが、それほど簡単ではなく、以前のいくつかのツールに基づいています。$\Omega(k/polylog(k))$$k$$G$

あなたは簡単にターゲットのために解決仮定-度4と木幅その後、あなたは格子状の未成年者でリードし、木材の結果を経由してはるかに簡単にそれを得ることができます。https://arxiv.org/abs/0809.0724$\Omega(k^{1/4})$

あなたが得ることができるもう一つの簡単な結果は次のとおりです。これは、より複雑な証明のいくつかの出発点です。degre とツリー幅Ω （k / p o l y l o g（k ））のサブグラフを取得できます 。これを達成するための議論については、ツリー幅スパースファイア紙を見ることができます。$\log^2(k)$$\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$