有界ツリー幅グラフの禁止された未成年者

この質問は、以前の質問の1つに似ています。$K_{t+2}$は、最大のツリー幅のグラフの禁止されたマイナーであることが知られています。$t$

すべてのツリー幅のグラフに対して最小限の禁止された未成年者である、適切に構築され、パラメータ化された、グラフの完全なファミリ（完全なグラフおよびグリッドグラフ以外）がありますか？換言すれば、明示的なグラフである上のように（完全グラフはない）頂点せいぜいツリー幅のグラフの禁止軽微であり、の関数であり、？ r G r r r $G_r$$r$$G_r$$r$$r$$t$

禁止されている未成年者の完全なセットは、最大3つのツリー幅のグラフで知られています。詳細については、このウィキペディアの記事を参照してください。

ツリー幅のグラフの禁止された未成年者の完全なセットは、最大で4つ知られていますか？

Gが2つの頂点xとyを追加してクリークではない小さなグラフHから形成され、xとyが互いに隣接せず、Gの他のすべての頂点に隣接する場合、。Gのツリー分解では、xとyに互いに素なサブツリーがあるか、サブツリーが重複しています。互いに素なサブツリーがある場合、他のすべてのサブツリーには、xとyのツリー間の最短パスを含める必要があり、そこからツリー幅はn − $tw(G)=tw(H)+2$$G$$x$$y$$x$$y$$n-2$; 仮定その表示するために使用することができるクリークないNを- 2 ≥ T W （H ）+ 2。あるいは場合、xは及びyはサブツリーを重複している、他のすべての頂点は、2つのサブツリーの交点タッチサブツリー有していれば、XとYを、我々は木分解を与え、その交差点に木分解を制限することが可能なXとYすべてのツリーノードに参加します。$H$$n-2\ge tw(H)+2$$x$$y$$x$$y$$x$$y$

これはhyperoctahedralグラフことを意味との2つのk個のノードが幅の最小禁止マイナーである2 K - 3。以下のために、八面体グラフK 2 、2 、2 hyperoctahedralグラフは幅があることを示し、上から引数幅3の最小禁止マイナーであり、2 K - $K_{2,2,2,\dots}$$2k$$2k-3$$K_{2,2,2}$$2k-2$。また、超八面体グラフでエッジの収縮またはエッジの削除が実行される場合、グラフの対称性により、操作がベース八面体の12のエッジの1つに発生し、その幅とすべてのハイパー八面体の幅が生じると想定できますそれから構築されて減少します。

（完全なグラフと一緒に質問に含める必要がある他のクラスのグラフはグリッドグラフですグリッドはツリー幅rを持ちます。平面であるため、完全なマイナーではないため、完全なグラフマイナーとは異なります。ただし、いくつかの小さな変更（コーナーの頂点の縮小など）によってツリー幅が変更されないため、これは最小の禁止されたマイナーではありません。）$r\times r$$r$

スパース障害物との正確なツリー幅決意、ルセナは内と述べサンダースの博士論文、「ツリー幅75人の程度最小禁止未成年与えられ、これが全体の閉塞セットを構成することができることを証明していないが考えられています。」$\leq 4$