属1のグラフの分解

平面グラフはフリーです。このようなグラフは、平面またはコンポーネントのいずれかであることが知られている3連結コンポーネントに分解できます。 $K_{3,3}$ $K_5$

属1のグラフのそのような「素敵な」分解はありますか？

グラフマイナーに関する独創的な研究で、RoberstonとSeymourは、マイナーを含まないすべてのグラフを「ほぼ平面」のグラフの「クリークサム」に分解できることを示しました。もちろん、これは有界グラフにも当てはまります。構造特性をよりよく理解するために、属1のグラフに固有の分解を探しています。

— シヴァ・キンタリ
ソース

これは役に立つかもしれません：arxiv.org/abs/math/0411488

— ジェフ

ああ、ジェフに感謝します。質問にに関連して、私はトーラスにを埋め込む方法について困惑していました、そして、私はそれを理解することができませんでした。

K_{7}

$K_7$

— ジョンモーラー

マイナーとして単一交差グラフ（つまり、エッジが交差する単一のポイントを持つ平面に描画できるグラフ）を除外するグラフファミリの場合、より強力な分解結果があります。そのようなグラフは、平面グラフと定ツリー幅グラフのクリークサムに分解できます（「単一交差グラフを未成年者として除外するグラフのクラスの近似アルゴリズム」を参照）。トーラスの障害物セットに単一交差グラフがある場合、これが役立ちます。（しかし、私は確かではない-そして、それができない単純な理由があるかもしれない。）

— バートヤンセン

トロイダル性に対して1交差の障害が存在しない単純な理由があります。交差を小さなハンドルで置き換えることにより、すべての1交差グラフをトーラス上に描画できます。

— デビッドエップシュタイン

ロバートソンとシーモアは、すべてのマイナーフリーグラフが「ほぼ有界な」グラフの「クリークサム」に分解できることを示したと思います。基本的な構成要素は平面グラフではなく、有界属のグラフです（属は除外されたマイナーに依存します）。トロイダルグラフはこれ以上分解できないと思います。

— マルシン・カミスキ
ソース