4サイクルの数

してみましょう 4つの頂点でサイクルすること。個の頂点とm個のエッジを持つ任意のグラフが、はいくつ存在しますか？これに下限はありますか？$C_4$$G$$n$$m>n\sqrt n$$C_4$

はい、これは知られています。以下のために$d = \Omega(n^{1/2})$十分に大きな暗黙定数と、任意の$n$平均度の-nodeグラフ$d$持つ$\Omega(d^4)$総$C_4$秒。これは、ランダムグラフによって実現されるため、最も可能性があります。

私がこれについて知っている最初の参考文献は、ErdosとSimonovitsによる「キューブ過飽和グラフと関連問題」です。そこには多くの証拠があります。私の頭の上からは、ここで補題3を参照してください。