明示的にMSOで表現可能なマイナーな閉じたプロパティ

以下では、MSOは頂点セットとエッジセットの定量化を使用したグラフの2次論理を示します。

してみましょうグラフのマイナー閉じ家族も。そのロバートソンとシーモアのグラフマイナー理論から次の有限のリストによって特徴付けられる禁じられた未成年者の。換言すれば、各グラフの、我々はそれを持っているに属し場合に限り除くすべてのグラフ未成年者として。 $\mathcal{F}$ $\mathcal{F}$ $H_1,H_2,...,H_k$ $G$ $G$ $\mathcal{F}$ $G$ $H_i$

この事実の結果として、我々は、MSOの式を有するグラフに真である場合に限り、。例えば、平面グラフは、グラフの不在によって特徴付けられるおよび未成年者として、従って、それが明示的に平面グラフを特徴付けるMSO式を書くことは容易です。 $\varphi_{\mathcal{F}}$ $G$ $G\in \mathcal{F}$ $K_{3,3}$ $K_5$

問題は、多くの素敵なマイナークローズグラフプロパティについて、禁止されているマイナーのリストが不明であることです。そのため、グラフのファミリーを特徴付けるMSOの式が存在することはわかっていますが、この式が何であるかはわかりません。

一方、グラフのマイナー定理を使用せずに、特定のプロパティの明示的な式を思い付くことができる場合もあります。私の質問はこの可能性に関連しています。

質問1：禁止された未成年者のセットは不明ですが、そのグラフのセットを特徴付けるいくつかのMSO公式が既知であるような、グラフマイナーなクローズドファミリはありますか？ $\mathcal{F}$ $\varphi$

質問2： いくつかの明示的なMSO式は、次の特性のいくつかを特徴付けることが知られていますか？ $\varphi$

属1（グラフはトーラスに埋め込み可能） （下記の編集を参照）
固定（下記のEDITを参照） $k>1$
固定外平面性 $k> 1$

この件に関するご意見やご意見をいただければ幸いです。他のマイナーな閉じたプロパティを自由に検討してください。上記のリストは例示にすぎません。

Obs：明示的に言うと、必ずしも小さいというわけではありません。指定されたプロパティを特徴付ける式を作成する方法を示す明示的な引数またはアルゴリズムを与えるだけで十分です。同様に、この質問の文脈において、禁止されている未成年者の家族は、その家族を構成する明示的なアルゴリズムを与えた場合に知られていると考えます。

編集：私はAdler、Kreutzer、Groheによる論文を見つけました。この論文は、属k-1のグラフを特徴付ける式に基づいて、属グラフを特徴付ける式を構築します。したがって、この論文は質問2の最初の2項目に答えます。一方、これは質問1には答えません。なぜなら、k属のグラフを特徴付ける禁じられた未成年者の家族であるk したがって、この家族は質問の意味で「知られている」。 $k$

— マテウス・デ・オリベイラオリベイラ
ソース

禁止されている未成年者のクラスは、有限数の禁止されている未成年者のそれぞれに対して、無数のサブグラフを禁止することで表現できます。したがって、あなたは尋ねています：これらの無限に多くのサブグラフのそれぞれを1つずつ禁止する（暗黙的に存在する）無限MSO定義が有限MSO式（明示的に知っている）に置き換えることができるようなマイナークローズグラフクラスがありますか？Hadwigerの予想には、各

に対してこの形式があります。なぜなら、

彩色性は、有限のMSO公式によって表現できるからです。推測が真である場合、これらは

マイナーフリーグラフですが、これは開いています。

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

K_{k}

$K_k$

— アンドラスサラモン

トーラスへの埋め込み可能性は、「グラフを2つの平面部分に分割できる」などのように明示的に表現できると思います。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

エミルの提案をありがとう。k-1属のグラフを特徴づける式に基づいて、k属のグラフを特徴づける式を構築する論文を見つけました。一方、これは私の質問に答えません。編集をご覧ください。

— マテウスデオリベイラオリベイラ

@AndrásSalamon—禁止されている未成年者を明示的かつ有限のMSO式で簡単に表現できます。問題は、どの未成年者が禁止すべきかを必ずしも知る必要がないことです。

— デビッドエップスタイン

@DavidEppstein：ああ、それを見逃した：ありがとう、だから私のコメントの最初の部分は単純化できる。しかし、

ハドウィガーはまだQ1に答えているようですか？我々は、未成年者の仮定さシングルトン設定した

各々に対して

、しかし、「のみ」という証拠欠く

すなわちMSOの式によって定義されるよう-minorフリー同じクラスである

彩色可能」。

k

$k$

{K_{k}}

$\{K_k\}$

k

$k$

{K_{k}}

$\{K_k\}$

ϕ_{k} =

$\phi_k =$

(k - 1)

$(k-1)$

— アンドラスサラモン

私はここに頂点グラフを含む答えがありましたが、この質問で明示的な閉塞セットがないという定義に失敗しました：閉塞セットを見つけるための公開アルゴリズムがありますが、実行するには遅すぎて実際にはわかりません障害セットは何ですか。

そのため、この欠陥のないパラメータ化可能な別の回答ファミリがあります（少なくとも、私が知る限り）。マイナー閉じファミリー所与、整数、所与のグラフない有する -ply グラフを覆うに？この種の問題の多くは不明のままです。特に、平面カバーグラフを持つグラフを特徴付ける根上氏の推測は証明されていません。また、からマイナーを作成するために行う手順は表紙にコピーできるため、マイナークローズです。 $F$ $k\ge 1$ $G$ $k$ $F$ $G$

存在をテストするためにの-plyカバーで、MSOには、以下のステップを実行します。 $k$ $G$ $F$ $_2$

depth-first-search-treeトリックを使用して、（任意の）方向を取得します。 $G$
各ペアについてと、のエッジのセットを選択、プライから移行覆うエッジ有するはずものプライに。 $(i,j)$ $0\le i,j<k$ $G$ $i$ $j$
各層の各頂点に各入射エッジのコピーが正確に1つあること、したがってこの情報が有効なカバーグラフを表していることを確認します。 $G$
カバーリンググラフでメンバーシップの障害セットベースの式をエミュレートします。 $F$

— デビッド・エップスタイン
ソース

デビッド、私が何かを見逃していない場合、Adler-Kreutzer-Grohe-2008は、入力としてクラスCのマイナーな特性を与えると、appex-Cの除外されたマイナーな特性を計算するアルゴリズムを提供しました。しかし、このアルゴリズムは効率が悪いかもしれません。Addlerは、appex-PLANARの除外された未成年者のリストが小さいことを望んでおり、したがって、アルゴリズムを使用して作成するには複雑すぎるため、明示的なリストを求めていると思います。MSOの式はわかっているが、未成年者を作成するためのアルゴリズムは知られていないプロパティに興味があります。

— マテウスデオリベイラオリベイラ

Cにカバーを持つグラフのクラスがマイナークローズされているのは、マイナークローズされたクラスCに当てはまりますか？

— デニス

はい。「そしてそれはマイナークローズだから...」についての私の答えにすでにある文を見てください。

— デビッドエップシュタイン

新しい答えをありがとう。今まで答えが編集されていたとは思いませんでした。

— マテウスデオリベイラオリベイラ