ツリー幅に対するパス幅のアルゴリズムの利点

ツリー幅はFPTアルゴリズムで重要な役割を果たします。これは、多くの問題がツリー幅によってFPTパラメーター化されるためです。関連する、より制限された概念は、パス幅の概念です。グラフのパス幅が場合、ツリー幅は最大でですが、逆方向では、ツリー幅は最大でパス幅のみを意味し、は厳密です。 $k$ $k$ $k$ $k\log n$

上記を考えると、有界なパス幅のグラフにはアルゴリズム上の大きな利点があると期待されるかもしれません。ただし、1つのパラメーターのFPTであるほとんどの問題は、他のパラメーターのFPTであるようです。これに対する反例、つまり、パス幅は「簡単」ですが、ツリー幅は「難しい」問題について知りたいです。

私はイゴールRazgonによる最近の論文に実行することで、この質問をする動機たことを言及してみましょう（「有界木幅のCNFのために二分決定グラフで」、KR'14）で、問題の例を挙げたとき、ソリューションはパス幅であり、がツリー幅の場合、（おおよそ）下限です。この挙動を示す他の標本が存在するかどうか疑問に思っています。 $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

要約：ツリーの幅によってW-hardパラメーター化されているが、パス幅によってFPTパラメーター化されている自然な問題の例はありますか？もっと広く言えば、ツリー幅ではなくパス幅でパラメータ化すると、複雑さがはるかに改善されることがわかっている/信じられている問題の例はありますか？

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— マイケル・ランピス
ソース

パスでは簡単ですが、ツリーではNPハードな問題があります。これらには、最小マルチカットおよび最大整数マルチフローが含まれます。

— チャンドラチェクリ14年

@ChandraChekuriこれは良い点ですが、そのような問題のパスのアルゴリズムは通常、パス幅に一般化されますか？たとえば、最大整数マルチフローの場合、これは当てはまらないと思います。Garg、Vazirani、およびYannakakisは、「ツリーの積分フローとマルチカットのためのプライマリデュアル近似アルゴリズム」で、ツリーのNP困難性を証明しました。そこでの削減では、高さ3のツリーを使用します。これは、一定のパス幅では問題がNPハードであることを意味します。

— マイケルランピス14年

これも、元の質問に対する明確な答えではありません。パス幅kグラフのフローカットギャップは、LeeとSidiropoulosの結果を介して、いくつかの関数fのf（k）によって制限されることが知られています。このような結果がツリー幅に当てはまるかどうかは、重要な未解決の問題です。k = 3の場合は、ツリー幅に対して開いています。

— チャンドラチェクリ14年

パス幅でパラメーター化されたハミルトニアンサイクルの最適なアルゴリズムのランタイムは

（arxiv.org/abs/1211.1506）で、最適なツリー幅は

（arxiv.org/abs/1103.0534）これはおそらく閉じられるのを待っている単なるギャップです。

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

— ダニエル14年

$W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

$G$ $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ $G \ S$

$W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/77298274.pdf

[2] http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— 徐R平
ソース