禁止されている未成年者を見つけるアルゴリズムはありますか？

ロバートソン・シーモア定理は、任意のマイナー閉じ家族と言うのグラフは、有限個の禁断の未成年者を特徴とすることができます。 $\mathcal G$

入力に対してが禁止された未成年者を出力するアルゴリズムはありますか、またはこれは決定不可能ですか？ $\mathcal G$

明らかに、答えはが入力でどのように記述されているかに依存する可能性があります。たとえば、で与えられるのメンバーシップを決定することができ、私たちもかどうかを決定することはできません今までに何かを拒否します。が有限の数の禁止された未成年者によって与えられた場合-まあ、それは私たちが探しているものです。一定の時間内にがで停止することが保証されている場合、その答えを知りたいと思います。私はまた、が他の証明書でマイナークローズされていることが証明された関連結果（場合など）にも $\mathcal G$ $\mathcal G$ $M_\mathcal G$ $M_\mathcal G$ $\mathcal G$ $M_\mathcal G$ $G$ $|G|$ $\mathcal G$ $TFNP$ または間違った証拠）。

更新：私の質問の最初のバージョンは、MarzioとKimpelのアイデアに基づいて、非常に簡単であることがわかりました。次の構成を検討してください。は、がステップで停止しない場合に限り、頂点のグラフを受け入れます。これはマイナークローズで、実行時間はのみに依存します。 $M_\mathcal G$ $n$ $M$ $n$ $|G|$

graph-theory decidability graph-minor

— ドモータープ
ソース

場合は常に停止TMで表される、あなたはそれに停止問題を軽減することができます与えられたビルド場合にのみ出力はい、その正確で停止手順（は標準的なグラフの列挙ですは最大1つの禁止されたマイナーを受け入れるため、はマイナークローズファミリーであるため、問題は特定できません

G

$\mathcal G$

M_{G}

$M_\mathcal G$

M

$M$

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

M

$M$

x

$x$

(G_{1}, G_{2}, . . .

$(G_1,G_2,...$

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

G

$\mathcal G$

— Marzio De Biasi

@ThomasKlimpel：Ops、私は質問を誤解した。おそらく、修正は次のとおりです。最初の検索というように正確で停止ならば、受け入れの手順マイナーではありません。それ以外の場合は拒否します。

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$

G_{i}, i \leq x

$G_i, i \leq x$

M

$M$

i

$i$

G_{i}

$G_i$

G_{x}

$G_x$

— Marzio De Biasi

@Marzioはい、簡略化します。M_は、がステップで停止しない場合に限り、頂点のグラフを受け入れます。これはマイナークローズで、実行時間はのみに依存します。

M_{G}

$M_\mathcal G$

n

$n$

M

$M$

n

$n$

| G |

$|G|$

— domotorp

まあ、私はがステップで停止した場合、ステップで停止したとも解釈します。

M

$M$

2

$2$

3

$3$

— domotorp 2018年

@domotorpあなたの建設は（私が間違っていなければ）うまくいき、あなたの質問の1つに答えます（そしてMarzio De Biasiと私がそのような単純な構造を成功させることを試みたので）、あなたの構造を適切な答え。自分の質問に答えるのが不安な場合は、コミュニティWikiにすることができます。または、質問を編集してそこに回答を追加することもできます。

— Thomas Klimpel

同様の質問に対するMamadou MoustaphaKanté（彼はBruno Courcelleの監督の下で博士号を取得しました）による回答は、B。Courcelle、R。Downeyによるモナディック2次イデアル（1997）のグラフ小障害セットの計算可能性に関する注記を引用しています。 M.計算不可能な結果（MSOLで定義可能なグラフクラス、つまりモナディック 2次式で定義されたクラス）のフェローと、Bによる文脈自由文法（1998）で定義されたマイナークローズドグラフセットの障害物 CourcelleとG.Sénizerguesが計算可能性の結果を求めます（HRで定義可能なグラフクラス、つまりHyperedge Replacement文法で定義されたクラスの場合）。

計算可能な場合と計算不可能な場合の決定的な違いは、（マイナークローズ）HR定義可能なグラフクラスに制限付きツリー幅があるのに対し、（マイナークローズ）MSOL定義可能なグラフクラスは制限付きツリー幅を持つ必要がないことです。実際、（マイナークローズの）MSOLで定義可能なグラフクラスが境界付きツリー幅を持っている場合は、HRで定義することもできます。

ツリー幅は、計算可能ケースと計算不可能ケースを分離するための本当に重要な部分のようです。別の既知の結果（M. FellowsとM􏰊.􏰊Langstonによる）は、除外されたマイナーの有限セットの最大ツリー幅（またはパス幅）の境界がわかっている場合、除外されたマイナーの（有限）最小セットは計算可能。

情報がない場合、それぞれの有限の除外マイナーセットによって与えられた2つのマイナークローズグラフクラスのユニオン（自明にマイナークローズ）の除外マイナーの（有限）最小セットを計算できるかどうかも不明ですツリー幅（またはパス幅）について利用可能です。あるいは、それが一般的に計算不可能であることが当面証明されたのかもしれません。

— トーマスクリムペル
ソース

この最後の部分は非常に興味深いものです。よく理解すれば、これは次のことを意味します。グラフファミリ場合、最大禁止最小マイナーのサイズを示します。ましょう。その場合、の既知の再帰的な上限はありません。が非常に速く成長することを示すいくつかの例を知っていますか？

G

$\mathcal G$

m (G)

$m(\mathcal G)$

f (n) = max {m (G_{1} \cup G_{2}) ∣ m (G_{1}), m (G_{2}) \leq n}

$f(n)=\max \{m(\mathcal G_1 \cup \mathcal G_2)\mid m(\mathcal G_1),m(\mathcal G_2)\le n\}$

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— domotorp 2018年

@domotorp同意する、良い点。私はそのような例についていくつかのアイデアを持っていますが、すべての例（基本的には「グリッド」の次元で遊ぼうとします）の成長率はELEMENTARY内にとどまるという印象があります。ただし、これらの質問に時間を費やしたい場合は、まず2000-2018年に何が起こったかについて文献調査を行う必要があると思います。それらの質問に取り組んだ著者の後の出版物で。

— Thomas Klimpel

なるほど-

— ええ

労働組合のため除外未成年者の最小セットは、2008年に計算可能が示されている@domotorp：logic.las.tu-berlin.de/Members/Kreutzer/Publications/...

— トーマスKlimpel