グラフマイナー定理の逆数学的強度からの結論

非決定的な多項式時間でチェックできるグラフプロパティと、弱い形式システム（たとえばRCA ₀）でプロパティがマイナークローズであるという証明があるとします。正式なシステムの強さについて何か言うことができますか？これは、与えられた有限の除外されたマイナーのセットが与えられたグラフの特性を特徴付けることを証明することができますか？

コンテキストこれはよくすでにの（ラベルのよく準順序集合なし）シンプルバージョンことが知られているクラスカルのツリー定理は、 ATRでunprovableで₀とグラフマイナー定理はΠでさえ証明可能ではないという定理の一般化である¹ ₁ -CA ₀。フリードマンは、クラスカルのツリー定理の単純なバージョンを使用して、急速に成長するTREE（n）関数を構築し、グラフのマイナー定理を使用して、より高速に成長するSSCG（n）関数を構築しました。これらは、数学的な逆数の計算内容に関する結論の良いデモンストレーションですが、上記のより直接的な質問には答えがありません。

つまり、グラフのマイナー定理に関連するのは、そのプロパティの除外されたマイナーのリストを知っていれば、マイナーな閉じたプロパティを決定論的な立方時間でテストできるという証拠です。したがって、与えられた「簡単な」（問題で正確にされた）マイナークローズドプロパティに対して除外されたすべての未成年者が見つかったことを証明することは、「不可能」であると考えるのは自然です。これは「不均一」なタスクであるため、このタスクの「不可能性」がグラフのマイナー定理自体を証明する「難易度」（つまり、数学的な強さの逆数）に関連しているかどうかはわかりません。

Kruskalのツリー定理の単純なバージョンは、グラフのマイナー定理とまったく同じ問題を提起するので、必要に応じて答えはその単純な問題に焦点を当てることができます。質問はそのように自然に感じるので、グラフのマイナー定理を使用しました。（この質問は、少なくとも明確な回答を得るという点では、MSEまたはMSOに適している可能性があります。しかし、この質問の動機はTCSに関連しているので、ここで質問することにしました。）

あなたの質問を理解したかどうかはわかりませんが、障害物のセットを計算するのがどれほど難しいかを尋ねているなら、次のhttp://www.jucs.org/doi?doi=10.3217/jucs-に興味があるかもしれません003-11-1194グラフクラスがMSOL定義可能であっても、非互換性が証明されています。このペーパーhttp://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X97830798?via%3Dihubでは、グラフクラスがHR文法によって与えられたときに計算可能性が証明されています。