簡単なガジェットで平面ハミルトニアンサイクルNP完全を証明する（ハミルトニアンサイクルから）

ハミルトニアン（略してハム）サイクルはNP完全であり、平面ハムサイクルはNP完全であることが知られています。平面ハムサイクルの証明は、ハムサイクルからではありません。

グラフGが与えられ、すべての交差点をいくつかの平面ガジェットに置き換えて、平面グラフG 'が得られるような優れたガジェットはありますか

G 'にハムサイクルがある場合、Gにはハムサイクルがあります。

（ハムパス、誘導ハムサイクル、誘導ハムパスなどのバリアントに満足します。）

— ビル・ガサルチ
ソース

やや些細な観察。もし埋め込む仮定

とエッジ

と

と、クロス

交差点を中心に時計方向に現れます。それを、

対応する4つの入口点

を持つガジェット

置き換えます

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

x, v, y, u

$x,v,y,u$

P_{x v y u}

$P_{xvyu}$

x^{'}, v^{'}, y^{'}, u^{'}

$x',v',y',u'$

。でハミルトニアンサイクル場合

両端使用

と

その後で

対応するサイクルは、自己交差しなければなりません。もちろんこれは、 ``ガジェット」であるともでハミルトン閉路ことを何の最も単純な解釈を前提と

のニーズがで対応するサイクルと同じエッジに従うことを

。

x, v, y, u

$x,v,y,u$

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— マレック・クローバック

ハムサイクルとは誰もがあなたの略語を理解していると思い込まないでください。

— 伊藤剛

@MarekChrobak：あなたの発言に同意します。引数をエスケープするには2つの方法があります。私が最も自然な1が第二1であると思う：ハミルトニアンサイクルがあり

における

が存在する場合に限っハミルトニアンサイクル

。

x \to y \to \dots \to u \to v \to \dots \to x

$x\to y\to\dotsb\to u\to v\to\dotsb\to x$

G

$G$

x \to x^{'} \to \dots \to u^{'} \to u \to \dots \to y \to y^{'} \to \dots \to v^{'} \to v \to \dots \to x

$x\to x'\to\dotsb \to u'\to u\to\dotsb\to y\to y'\to\dotsb\to v'\to v\to\dotsb\to x$

— ブルーノ

@剛：それはハミルトニアンサイクルを意味します。誰もがそれを理解できると仮定するのは合理的だと思います。

— domotorp

@ビル：なぜあなたはそのようなガジェットが存在すべきだと思うのか疑問に思っています。任意のグラフを平面に埋め込むときの交差の数は非常に大きくなる可能性があります（完全なグラフの場合は

-交差補題を参照）。あなたがグラフで始まるのであれば、

のエッジと多くのエッジ（近くに二次を言う）を頂点として追加踏切で埋め込まれたグラフが...完全に異なる構造を有している

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

n

$n$

— サリエルのHar-Peled

いいえ。少なくとも、1つのクロスオーバー用の「素敵な」ガジェットはありません。

してみましょう及び我々は交換するクロスこと。 $(a, b)$ $(x,y)$ ここに画像の説明を入力してください

グラフには多くの場合がありますが、少なくとも次の4つを満たす必要があります。ケース1：少なくとも1つのハミルトニアンサイクルがありますが、いずれのエッジも使用していません。ケース2：少なくとも1つのサイクルがあり、すべてのサイクルが2つのエッジの1つを使用します。ケース3：少なくとも1つのサイクルがあり、すべてのサイクルが両方のエッジを使用します。ケース4：ハミルトニアンサイクルがない。 $G$

我々のガジェットのそれぞれのための2つ（またはそれ以上）の頂点を有する場合全て同じネイバー（ように隣接してと保持するのを隣人）を必ずしもまだ平坦ではないであろう。上記の最初のケースを満たすために、ガジェットに新しい頂点を追加することはできません。 $a, b, x, y$ $a_0$ $a_1$ $a$ $G'$

上記のケース3を満たすためには、ガジェットに少なくとも2つのエッジが必要です。平面と被覆のペアもケース2を満たさないため、3番目のエッジが必要です。一般性を失うことなく、これら3つをます。 $(a, x), (y, b)$ $(a, y), (x, b)$ $(a, y), (y, b), (x,b)$

しかし、その交換は、第4のケースを壊しときハミルトニアンサイクルを含めることができますしません。たとえば、考えます。ここで、および $G'$ $G$ $G = (V, E)$ $V = \{a, b, x, y, p, q, r, s, t\},$ 。は平面ではなく、ハミルトニアンサイクルを持ちません。 $E = \{(a, b), (x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (b, x), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G$ ここに画像の説明を入力してください

$G' = (V, E')$ $E' = \{(a, y), (y, b), (x, b)\} \cup$ $\{(x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G'$ $a, q, x, t, p, s, b, y, r, a$

$(b, y)$ $(a, x)$ $G'$

$(a, b), (a, y), (x, b)$

3つのエッジを追加するとケース4が中断されるため、さらに追加しても効果はありません。

$a, b, x$ $y$

（注：上記のエラーが発生した場合はお知らせください！）

（~~注2：素敵な数字がいくつかありましたが、投稿できません。~~ 投稿しました。）

— カイル
ソース

あなたは今、数字を投稿できるはずです。

— ユッカスオメラ