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ハミルトニアンサイクルが平面（Garey、Johnson、およびTarjan、SIAM J. Comput。1976）または2部（秋山、西関、および斉藤、J。Inform。Proc。1980）または、ヨルダン曲線の配列によって形成されたグラフであっても、4規則グラフにハミルトニアンサイクルが存在するかどうかをテストする（Iwamoto and Toussaint、IPL 1994）。 k正則グラフのハミルトニシティをテストするためにNP完全であることが知られている他のkはどれですか？ 私が興味を持っている特定のケースは、6個の正規グラフで、グラフに頂点の数が奇数であるという追加条件があります。このケースがNP完全（または多項式）であると示される場合、http：//arxiv.org/abs/1009.0579で説明されているグラフ描画の問題に影響があります。「奇数の頂点」条件は、6正規グラフの場合、グラフにハミルトニアンサイクルまたは2部2因子のどちらが含まれているかを本当に知りたいからです。ただし、頂点の数が奇数であると、2部2因子の可能性が排除され、ハミルトニアンサイクルの可能性のみが残ります。

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ハミルトニアン（略してハム）サイクルはNP完全であり、平面ハムサイクルはNP完全であることが知られています。平面ハムサイクルの証明は、ハムサイクルからではありません。 グラフGが与えられ、すべての交差点をいくつかの平面ガジェットに置き換えて、平面グラフG 'が得られるような優れたガジェットはありますか G 'にハムサイクルがある場合、Gにはハムサイクルがあります。 （ハムパス、誘導ハムサイクル、誘導ハムパスなどのバリアントに満足します。）

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最長パスの問題はNPハードです。（典型的？）証明は、ハミルトニアンパス問題（NP完全）の縮小に依存しています。ここでは、パスは（ノード）シンプルであることに注意してください。つまり、パス内で頂点を複数回使用することはできません。したがって、明らかにエッジシンプルでもあります（パスでエッジが複数回発生することはありません）。 それでは、（ノード）シンプルパスを見つける要件を破棄し、エッジシンプルパス（トレイル）を見つけることに固執する場合はどうでしょう。一見、オイラーの小道を見つけることはハミルトニアンの道を見つけることよりもはるかに簡単なので、最長の道を見つけることは最長の道を見つけることよりも簡単であるという希望があるかもしれません。ただし、アルゴリズムを提供するものは言うまでもなく、これを証明する参考文献は見つかりません。 ここで行われた引数を知っていることに注意してください：https : //stackoverflow.com/questions/8368547/how-to-find-the-longest-heaviest-trail-in-an-undirected-weighted-graph ただし、引数これは、異なるグラフでノード単純なケースを解くことでエッジ単純なケースを解決できることを基本的に示しているため、現在の形式には欠陥があるようです（削減は間違った方法です）。他の方法でも機能するように削減を簡単に変更できるかどうかは明らかではありません。（それでも、少なくとも最長の問題は最長の問題より難しくないことを示しています。） 最長のトレイル（エッジシンプルパス）を見つけるための既知の結果はありますか？複雑さ（クラス）？（効率的な）アルゴリズム？

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ハミルトン閉路問題（HC）は、与えられた無向グラフ中の全ての頂点を通過するサイクルを見つけることにあります。巡回セールスマン問題（TSP）は、与えられたエッジ重み付きグラフのすべての頂点を通過し、サイクルのエッジの重みの合計によって測定された総距離を最小限にサイクルを見出すことにあります。HCはTSPの特殊なケースであり、両方ともNP完全であることが知られています[Garey＆Johnson]。（これらの問題の詳細と変形については、上記のリンクを参照してください。） ハミルトニアンサイクル問題が非自明なアルゴリズムを介して多項式時間で解けるが、巡回セールスマン問題はNP困難であるグラフの研究されたクラスはありますか？ 非自明では、ハミルトニアンサイクルが存在することが保証され、簡単に見つけることができる完全なグラフのクラス、または一般にHCが常に存在することが保証されるグラフのクラスなどのクラスを除外します。

13 cc.complexity-theory  np-hardness  hamiltonian-paths  tsp  graph-classes 

削減のためにNP困難な問題を強く探しています。これまでのところ、次の問題が見つかりました。 3パーティションの問題 ビンパッキング問題 数値3次元マッチング TSP 数値データのないNP完全問題、たとえば、SATISFIABILITY、HAMILTONIAN CYCLE、3-COLOURABILITY。 誰もが強くNP困難な問題のリストを知っていますか？ そうでない場合は、ここでビルドしてみましょう。NPが非常に難しい数値データに関する他の問題をご存知ですか？ 特に、重み付きグラフでのNP困難な問題に強い関心を持っています。

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ましょう無向グラフです。分解V互いに素なサブセットには、V iは呼ばれるハミルトン分解のGサブグラフが各セットによって誘導される場合、V iはハミルトングラフであるか、または有する単一のエッジで構成され| V i | = 2。G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)VVVViViV_iGGGViViV_i|Vi|=2|Vi|=2|V_i|=2 例：完全な2部グラフは、m = nの場合にのみハミルトン分解を行います。Km,nKm,nK_{m,n}m=nm=nm=n 与えられたグラフがハミルトン分解を持っているかどうかを決定するアルゴリズムを探しています。この決定問題はNP完全ですか？そうでない場合、どのようにしてそのような分解を見つけることができますか？ 注：ハミルトン分解は、多くの場合、エッジの分解示し文献においてのG誘起サブグラフはハミルトンであるようにします。対照的に、頂点の分解に興味があります。EEEGGG

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kkk点がグリッドからランダムに選択されます。（明らかにk \ leq p \ times qであり、与えられた定数です。）頂点iと頂点jの間のエッジの重みが元のグリッド上の2つの頂点のマンハッタン距離に等しくなるように、これらのkポイントから完全な重み付きグラフが作成されます。。K ≤ Pp × qp×qp\times qK I JK ≤ P × Qk≤p×qk\leq p\times qkkk私iijjj これらのk個のノードを通過する最短（最小総重量）ハミルトニアンパスの予想される長さを計算する効率的な方法を探しています。より正確には、次の素朴なアプローチは望ましくありません。kkk ∙∙\bullet kノードのすべての組み合わせの正確なパス長を計算し、予想される長さを導き出します。 ∙∙\bullet最小スパニングツリーを使用するという基本的なヒューリスティックを使用して、最大50％のエラーが発生するkノードのすべての組み合わせの概算パス長を計算します。（エラーが少ない、より良いヒューリスティックが役立つ場合があります）

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アルゴリズムを時間内に実行するのが簡単な問題の例を探しています、または場合はですが、実行されるアルゴリズムがあるかどうかは不明です。 2 O （n c） c > 1 2 O （n ）2O(nlogn)2O(nlog⁡n)2^{O(n\log n)}2O(nc)2O(nc)2^{O(n^c)}c>1c>1c>12O(n)2O(n)2^{O(n)} 私は主にグラフ理論の問題に興味がありますが、他の良い例も歓迎されます。 たとえば、ハミルトニアンパス問題の場合、時間内に実行されるアルゴリズムを開発することは簡単 です。すべての順列をテストしてください。ただし、動的プログラミングを使用すると、時間達成できます。他の自然な接続性の問題、または時間実行されるアルゴリズム が知られていないハミルトニアンパス問題のバリエーションはありますか？ 2 O （n ） 2 O （n ）O(n!)=2O(nlogn)O(n!)=2O(nlog⁡n)O(n!) = 2^{O(n\log n)}2O(n)2O(n)2^{O(n)}2O(n)2O(n)2^{O(n)}

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私が最近遭遇した特定のプログラミング問題は、次のような長方形のグリッドでハミルトニアンパスを見つけることに帰着します。 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C D それらを見つけるために適用できる効果的なヒューリスティックは何ですか？特に、途中でパスをトリム/破棄するテクニックは？ 編集：明確にするために、要素が水平および垂直に接続されているが、斜めには接続されていない場合、エッジが形成されます。この問題は、0とマークされた要素を使用してパスを形成できることも示していますが、0以外の要素は回避する必要がある「障害物」です。 A-0-0-0 | 0-0-0-0 | 0-0-C D たとえば、1つのパスにすることができます。別の可能性があります、 A 0-0-0 | | | 0 0 0-0 | | | 0-0 C D

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