未知の単一指数時間アルゴリズムの問​​題

アルゴリズムを時間内に実行するのが簡単な問題の例を探しています、または場合はですが、実行されるアルゴリズムがあるかどうかは不明です。 2 O （n c） c > 1 2 O （n $2^{O(n\log n)}$$2^{O(n^c)}$$c>1$$2^{O(n)}$

私は主にグラフ理論の問題に興味がありますが、他の良い例も歓迎されます。

たとえば、ハミルトニアンパス問題の場合、時間内に実行されるアルゴリズムを開発することは簡単 です。すべての順列をテストしてください。ただし、動的プログラミングを使用すると、時間達成できます。他の自然な接続性の問題、または時間実行されるアルゴリズム が知られていないハミルトニアンパス問題のバリエーションはありますか？ 2 O （n ） 2 O （n $O(n!) = 2^{O(n\log n)}$$2^{O(n)}$$2^{O(n)}$

グラフ準同型問題、入力が二つのグラフであり、及び、問題は、マッピングがあるかどうかであるの頂点からの頂点にそのようなすべてのエッジのそれ我々は持っている。$G$$H$$h$$G$$H$$uv\in E(G)$$h(u) h(v)\in E(H)$

この問題は、ブルートフォースアルゴリズムによってで解決できます（表記は、入力サイズの因子多項式を隠します）。$O^*(|V(H)|^{|V(G)})$$O^*$

ただし、時間内に解決できるかどうかはオープンです、これは未解決の質問として表示されます$O^*(c^{|V(H)|+|V(G)|})$

• Fedor V. Fomin、Pinar Heggernes、Dieter Kratsch：グラフ同型写像の 正確なアルゴリズム。理論計算。システム。41（2）：381-393（2007）

順列グループの順列同型、別名順列グループ共役：

入力：の順列の2つのリスト、たとえばと$S_n$$(\pi_1, \dotsc, \pi_k)$$(\rho_1, \dotsc, \rho_\ell)$

出力：A順列よう、又は「同形ではない」$\pi \in S_n$$\pi^{-1} \langle \pi_1, \dotsc, \pi_k \rangle \pi = \langle \rho_1, \dotsc, \rho_\ell \rangle$

（ここで、は、によって生成されたサブグループを意味し）。$\langle \pi_1, \dotsc, \pi_k \rangle$$\pi_i$

ハミルトニアンパスの例と同様に、ささいなアルゴリズム。現在最もよく知られているのはで、です。なお、大きさにすることができます（自明：）またはは自明ではない（たとえば、O'Nan-Scottの定理を参照）。*への依存を削除する 重要な未解決の問題としてそこに残されました。$n! = 2^{O(n \log n)}$$2^{O(n)} |G|^{O(1)}$$G = \langle \pi_1, \dotsc, \pi_k \rangle$$|G|$$n!$$G = S_n$$n! / n^{O(1)}$$G$$|G|$

*が大きくなる可能性があるという事実にもかかわらず、最悪の場合、これは漸近的には取るに足らないことではないように見えますが、は正確にアーベル正規部分群を持たない群の多項式時間同型検定に必要なもの$G$$2^{O(n)}|G|^{O(1)}$

グラフの交差数を計算しています。既存の正確なアルゴリズムでは、エッジの数が3次の変数を持つ整数線形プログラムとしてそれを公式化する必要があります[Chimani et al、ESA 2008]。頂点がディスクの境界とディスクの内部のエッジに配置される制限された1ページの交差数でさえ、既知のアルゴリズムは、単指数ではなくで指数関数的です[Bannister et al、GD 2013]。$O(n\log n)$