平面グリッドからランダムに選択されたポイントの最短ハミルトニアンパスの予想長はどれくらいですか？

$k$ 点がグリッドからランダムに選択されます。（明らかにであり、与えられた定数です。）頂点と頂点間のエッジの重みが元のグリッド上の2つの頂点のマンハッタン距離に等しくなるように、これらのポイントから完全な重み付きグラフが作成されます。。 $p\times q$ $k\leq p\times q$ $k$ $i$ $j$

これらのノードを通過する最短（最小総重量）ハミルトニアンパスの予想される長さを計算する効率的な方法を探しています。より正確には、次の素朴なアプローチは望ましくありません。 $k$

$\bullet$ kノードのすべての組み合わせの正確なパス長を計算し、予想される長さを導き出します。

$\bullet$ 最小スパニングツリーを使用するという基本的なヒューリスティックを使用して、最大50％のエラーが発生するkノードのすべての組み合わせの概算パス長を計算します。（エラーが少ない、より良いヒューリスティックが役立つ場合があります）

— ジャバド
ソース

現在、平面グリッドの重み付けされていないハミルトニアンパス問題はNP完全であるため、効率的なアルゴリズムに希望はありません。

— Mohammad Al-Turkistany

ハミルトニアンパスについて話すとき、あなたは最小の重みでハミルトニアンパスについて考えていますか（別名、巡回セールスマン問題）？

— a3nm

@ MohammadAl-Turkistany OPはランダムポイントの推定にすぎないため、HAM PATHの硬度は必ずしも障害ではありません。

— Suresh Venkat

@ a3nmはい、私はそれを修正しました。

— Suresh Venkat

ポイントの多数のランダムサンプルの正確なツアー長を計算し、期待値と標準偏差を見つけることの何が問題になっていますか？にはどれくらいの大きさが必要ですか？

k

$k$

k, p, q

$k, p, q$

— Peter Shor、

とがかなり大きいと仮定すると、予想される長さは主に密度に依存し、一部の補正項は周囲に依存すると予想されます。したがって、最初に次の形式の関数になります。 $p$ $q$

L \approx (p q k)^{1 / 2} f (k / p q) + (p + q) g (k / p q) .

$L \approx (pqk)^{1/2} f(k/pq) + (p+q) g(k/pq).$

これで、より小さいサイズの問題の実験を使用して、とが何であるかを理解できます。まず、を推定するには、境界のないサンプルで実験を行います。これを行う最も簡単な方法は、左側が右側に接続され、上部が下部に接続されたグリッドを使用して、トーラス。を推定するには、グリッドで実験を使用できます。 $f$ $g$ $f$ $p\times p$ $g$ $p \times q$

推定には、比較的大きいTSPを（正確にまたはほぼ）解決する必要があります。推定に使用するTSPが大きいほど、結果が良くなります。数パーセント以内のヒューリスティックを使用することも、正確なTSPコードを使用することもできます。優れたヒューリスティックについては、こちらをご覧ください。ビルクックのコンコルド TSPソルバーは、適度に大きなインスタンス（これは利用可能な最高のTSPコードです）に最適で、学術研究に無料で使用できます。

— ピーター・ショー
ソース

TSPLIBの用語を使用して、TSPではなくSOPを探していました。TSPに対して計算されたを乗算すると、SOPの上限が得られます。残念ながら、コンコルドTSPソルバーはSOPを処理しないため、オンラインでSOPソルバーを見つけることができませんでした。

E [L]

$E[L]$

(k - 1) / k

$(k-1)/k$

— Javad、

私は計算するための推測、より大きな有するケースの小さい Sに均等の周りに分布している「一つの配列を見つけるために建設的なアプローチを考え出すことができるように、グリッドのポイントをこれは（おそらく）を与えます。そのような配置を見つけることは明らかに計算のコストを劇的に減少させるでしょう。

E [L]

$E[L]$

L

$L$

L

$L$

E [L]

$E[L]$

k

$k$

E [L]

$E[L]$

— Javad、2012年

また、係数理由もよくわかりませんでした。なぜすべきではないのですか？この近似の定式化は、とより小さい値に対してどのように変化しますか？

k^{2}

$k^2$

k^{2} / (p q)

$k^2/(pq)$

p

$p$

q

$q$

— Javad、2012年

@Javad：いい質問だ。私が間違っていたのは、私が答えを書いたとき、どういうわけかポイントを考えていたからです。係数は、グリッドに単位長のエッジがあるため、領域全体のサイズがという私の仮定から来ています。平均エッジの長さはである必要があり、エッジがあるため、をほぼ一定にしたい場合、最初の項は。

k^{2}

$k^2$

p \times q

$p\times q$

p \times q

$p \times q$

θ (\sqrt{p q / k})

$\theta(\sqrt{pq/k})$

k

$k$

f

$f$

\sqrt{p q k} f (k / p q)

$\sqrt{pqk} f(k/pq)$

— Peter Shor

以下のために、TSPの長さとSOP長との差はほとんど無視できるはずです。

k \approx 10^{6}

$k \approx 10^6$

— Peter Shor