平面距離保存器の存在？

Gをnノード無向グラフとし、Tをterminalsと呼ばれるV（G）のノードサブセットとします。距離浮き袋（G、T）のプロパティを満たすグラフHであります

Tのすべてのノードu、vについて（Hは必ずしもGのサブグラフではないことに注意してください）

たとえば、Gを次のグラフ（a）、Tを外面のノードとします。グラフ（b）は（G、T）の距離保存です。

さまざまなパラメータを持つ距離保存機能が存在することが知られています。私は特に次の特性を持つものに興味があります：

1. Gは平面であり、重みがありません（つまり、Gのすべてのエッジに重み1があります）。
2. Tのサイズは$O(n^{0.5})$であり、
3. Hにはサイズ（ノードとエッジの数）$o(n)$ます。（$O(\frac{n}{\log\log n})$。）

そのような距離保存は存在しますか？

上記の特性を満たすことができない場合は、あらゆる種類のリラクゼーションを歓迎します。

参照：

• スパースソースワイズおよびペアワイズ距離プリサーバー、Don CoppersmithおよびMichael Elkin、SIDMA、2006年。
• Sparse Distance Preservers and Additive Spanners、BélaBollobás、Don Coppersmith、Michael Elkin、SIDMA、2005年
• サブリニア距離誤差を伴うスパナおよびエミュレータ、Mikkel ThorupおよびUri Zwick、SODA、2006年。
• アディティブスパナ、エミュレータなどの下限、デビッドP.ウッドラフ、FOCS、2006年。

距離保存器はエミュレーターとしても知られています。多くの関連する仕事は、スパナという用語を検索することでインターネット上で見つけることができます。これは、HがGの部分グラフである必要があります。しかし、HがGのT

数年後、OPがついに自分の質問に答えたようです：Hsien-Chih Chang、PawełGawrychowski、Shay Mozes、およびOren Weimannによる平面グラフの近最適距離エミュレーターが arxivに投稿されました。

| T| =：T〜O（N 3 / 4$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$$|T| =: t$$\widetilde{O}(n^{3/4})$$\widetilde{O}(n)$

（あまり正式ではありませんが、この結果は本当に素晴らしいと思います。おめでとうございます！）

1+イプシロン係数までの距離を保持するクラインの平面サブセットスパナをご覧ください。

平面グラフ用のサブセットスパナ、サブセットTSPへの適用 http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620