タグ付けされた質問 「linear-algebra」

線形代数は、ベクトル空間と線形変換を扱います。

2
ガウス消去法の実際の時間の複雑さは何ですか？
以前の質問への回答で、「ガウス」消去は時間で実行されるという一般的だが誤った信念に言及しました。アルゴリズムが算術演算を使用することは明らかですが、不注意な実装では指数関数的に多くのビットを持つ数値を作成できます。簡単な例として、次の行列を対角化するとします。O(n3)O(n3)O(n^3)O(n3)O(n3)O(n^3) ⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢211⋮1021⋮1002⋮1⋯⋯⋯⋱⋯000⋮2⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥[200⋯0120⋯0112⋯0⋮⋮⋮⋱⋮111⋯2]\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 2 …
4
行列乗算を2次時間で実行できるという証拠はありますか？
行列乗算の最適な指数であるは実際には2に等しいと広く推測されています。私の質問は簡単です：ωω\omega と信じる理由は何ですか？ω=2ω=2\omega = 2 Coppersmith-Winogradのような高速アルゴリズムは知っていますが、これらが証拠と見なされる理由はわかりません。ω=2ω=2\omega = 2 素朴に、それは、結果が純粋に審美的な理由で真実であることをコミュニティが望んでいる古典的な例のように思えます。それが本質的にここにあるかどうか知りたいです。
6
行列の固有分解を見つけることの複雑さ
私の質問は簡単です： コンピューティングのための最もよく知られているアルゴリズムの実行時間最悪の場合は何である固有値分解のマトリックスは？n × nn×nn \times n 固有分解は行列乗算に還元されますか、それとも最悪の場合で最も知られているアルゴリズム（SVD経由）ですか？O （n3）O(n3)O(n^3) 条件番号のような問題に依存する定数を持つ境界ではなく、最悪の場合の分析（のみで）を求めていることに注意してください。nnn 編集：以下の回答のいくつかを考えて、質問を調整させてください：私は -approximationに満足するでしょう。近似は、乗法、加法、エントリ単位、または任意の合理的な定義にすることができます。ようなものよりもへの依存性が高い既知のアルゴリズムがあるかどうかに興味がありますか？nはO （P O LのY（1 / ε ）N 3）ϵϵ\epsilonnnnO （p o l y（1 / ϵ ）n3）O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) 編集2：対称行列に関するこの関連質問を参照してください。
3
行列の乗算が
一般に、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0すべてについて、O （n 2 + ϵ）時間で2つのn×nn×nn \times n行列を乗算することが可能であると考えられています。議論はここにあります。O(n2+ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon}) 私は、研究に精通している人々に、nに依存しないk>0k>0k>0があり、行列乗算のO （n 2 log k n ）アルゴリズムが存在し、圧倒的に直感的であると思われるかどうかを尋ねました答えは「いいえ」ですが、理由を説明できませんでした。つまり、O （n 2.001）時間でできるが、O （n 2 log 100 n ）時間ではできないと彼らは信じています。nnnO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)O(n2.001)O(n2.001)O(n^{2.001})O(n2log100n)O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n) 固定k > 0でO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)アルゴリズムがないと信じる理由は何ですか？k>0k>0k>0
2
行列のセットのスパンに置換行列が含まれているかどうかを判断する多項式時間アルゴリズムはありますか？
特定の行列セットのスパンに置換行列が含まれているかどうかを判断する多項式時間アルゴリズムを見つけたいと思います。 この問題が別の複雑度クラスのものであるかどうかを誰かが知っている場合、それは同じように役立ちます。 編集：私はこのような問題が線形計画法でタグ付けされました。そのような解決策が存在する場合、それは一種の線形計画法アルゴリズムであるという強い疑念があるからです。私がこれを信じる理由は、Birkhoffポリトープの極値が正確に置換行列だからです。その後、バーコフポリトープの頂点でのみ最大化または最小化される目的関数を見つけることができる場合、関数をポリトープとベクトル部分空間の交点に制約し、多項式時間で最大化できます。この値が置換行列である場合、セットに置換が含まれていることがわかります。これらはこのテーマに関する私の考えです。 編集2：もう少し考えた後、順列行列は正確にユークリッドノルムのバーコフポリトープの要素であるように思われ、バーコフポリトープは順列行列。おそらくそれも重要かもしれません。n−−√n\sqrt{n}n×nn×nn \times n 編集3：半明確なプログラミングタグを追加しました。前回のコメントの後、線形制約付きの2次最適化アルゴリズムであるため、半明確なプログラミングソリューションが可能になると考え始めているためです。
3
行列のカーネルに、すべてが-1、0、または1である非ゼロベクトルが含まれるかどうかを決定します
所与によってバイナリ行列（エントリがまたは）、問題は、2つのバイナリベクトルが存在するかどうかを決定することであるよう（すべての操作を介して実行）。この問題はNP困難ですか？mmmnnnMMM000111v1≠v2v1≠v2v_1 \ne v_2Mv1=Mv2Mv1=Mv2Mv_1 = Mv_2ZZ\mathbb{Z} 証人として2つのベクトルを与えることができるので、明らかにNPにあります。 同等：が与えられた場合、ようなゼロ以外のベクトルがありますか？MMMv∈{−1,0,1}nv∈{−1,0,1}nv\in \{-1,0,1\}^nMv=0Mv=0Mv=0 同等：上のベクトル与えられた、ような2つの異なるサブセットがあります？nnnX={x1,…,xn}X={x1,…,xn}X=\{x_1,\dots,x_n\}{0,1}m{0,1}m\{0,1\}^mA,B⊆XA,B⊆XA,B \subseteq X∑x∈Ax=∑x∈Bx∑x∈Ax=∑x∈Bx\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x
1
行列パワーの複雑さ
してみましょう正方整数行列で、とlet正の整数になります。次の決定問題の複雑さに興味があります。nMMMnnn 右上のエントリは正ですか？MnMnM^n 反復二乗（または他の明示的な計算）の明白なアプローチでは、潜在的に2倍の指数の整数、つまり指数的に多くのビットを持つ整数を処理する必要があることに注意してください。ただし、この問題はAllenderらの「PosSLP」クラス（「数値解析の複雑さ」、SIAM J. Comput。38（5））にあり、したがってカウント階層の第4レベルにあることが容易にわかります。。 1）このマトリックスの電力供給問題をより低い複雑度のクラスに配置することは可能ですか？ 2）そうでない場合は、おそらくPosSLPが難しいでしょうか？ 3）特に低次元の行列、つまり6x6行列までの行列乗法問題に興味があります。そのような行列の複雑さはより低くなる可能性がありますか？
3
線形代数のアルゴリズム/複雑さに関する調査
並列（階層）に重点を置いた線形代数のアルゴリズムと複雑さ（ランク、逆数、固有値などの演算、ブール、、整数/有理数行列など）の良い調査を探しています。およびポリタイムアルゴリズム。私は最近のものを見つけることができませんでした。 NCFpFp\mathbb{F}_pNCNCNC 線形代数の複雑さに関する最近の良い調査または本を知っていますか？
3
行列が完全に規則的かどうかを判断する複雑さ
行列は、そのすべての正方部分行列がフルランクの場合、完全に正規と呼ばれます。そのようなマトリックスは、超濃縮器を構築するために使用されました。与えられた行列が合理的に完全に規則的であるかどうかを判断する複雑さは何ですか？有限フィールド上ですか？ より一般的には、最大でk個のサイズのすべての正方部分行列がフルランクである場合、完全に正規の行列を呼び出します。行列とパラメータkが与えられた場合、行列が完全にk正規かどうかを判断する複雑さは何ですか？kkkkkkkkkkkk
2
線形独立フーリエ係数
ベクトル空間の基本的な性質は、ベクトル空間ということであるV⊆Fn2V⊆F2nV \subseteq \mathbb{F}_2^n次元のによって特徴付けることができるであり、存在する-線形独立線形制約が線形独立なベクトルが直交している。、D 、D 、W 1、... 、W D ∈ F N 2 Vn−dn−dn-dddddddw1,…,wd∈Fn2w1,…,wd∈F2nw_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^nVVV フーリエ変換の観点から、これは、インジケータ関数と言うと等価であるのしている線形独立非ゼロのフーリエ係数を。は合計で非ゼロフーリエ係数がありますが、それらのうちだけが線形独立であることに注意してください。 V d1V1V1_VVVVddd 2 d d1V1V1_V2d2d2^dddd このベクトル空間のプロパティの近似バージョンを探しています。具体的には、次の形式のステートメントを探しています。 LETサイズである。次に、インジケータ機能有するせいぜい線形独立絶対値が少なくともあるフーリエ係数。 2 N - D 1 S D ⋅ ログ（1 / ε ）S⊆Fn2S⊆F2nS \subseteq \mathbb{F}_2^n2n−d2n−d2^{n-d}1S1S1_Sd⋅log(1/ε)d⋅log⁡(1/ε)d\cdot\log(1/\varepsilon) εε\varepsilon この質問は、「構造対ランダム性」の観点から見ることができます-直感的に、このような主張は、すべての大きなセットがベクトル空間と小さなバイアスされたセットの合計に分解できることを示しています。すべての関数は、大きなフーリエを持つ「線形部分」に分解できることがよく知られています係数、および小さなバイアスを持つ「疑似ランダム部分」。私の質問は、線形部分が線形独立フーリエ係数の対数のみを持っているかどうかを尋ねます。p o l y（1 / ε ）f:Fn2→F2f:F2n→F2f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2poly(1/ε)poly(1/ε)\mathrm{poly}(1/\varepsilon)
4
順不同リストを与えられた未知の値
誰でも次の問題で私を助けることができますか？ 私はいくつかの値を検索したいai,bjai,bja_i,b_j（MOD NNN）i=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K, j=1,2,…,K （例えばK=6K=6K=6のリスト与え、）K2K2K^2という値具体的な対応関係を知らずに、差ai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N（たとえばN=251N=251N=251）に対応します。値以来ai,bj(modN)ai,bj(modN)a_i,b_j\pmod N一意に違い与え定義されていないai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N、我々は探して任意の 値の有効割り当て。 間違いなく、リスト内のK2K2K^2数の各順列を試して（合計K2!K2!K^2!場合）、変数としてai,bjai,bja_i,b_jを使用してモジュラー方程式を解くことは実行不可能です。 実際、この問題はNTRU署名スキームの初期バージョンへの暗号解読に関する論文（http://eprint.iacr.org/2001/005）で発生します。しかし、著者は「単純なバックトラックアルゴリズムが1つのソリューションを見つける」という文（3.3節）を1つだけ書いたので、だれかがさらに説明できますか？さらに、著者は「すべての循環シフト{((ai+M)modN,(bi+M)modN}Ki=1{((ai+M)modN,(bi+M)modN}i=1K\{((a_i+M)\mod N,(b_i+M)\mod N\}_{i=1}^Kまたはスワップ({(N−1−bi,N−1−ai)}Ki=1)({(N−1−bi,N−1−ai)}i=1K)(\{(N-1-b_i,N-1-a_i)\}_{i=1}^K)はa_i-b_j \ mod Nと同じパターンにai−bjmodNai−bjmodNa_i-b_j\mod Nなります。このステートメントは役に立ちますか？
1
方程式のシステムはモジュロ解決される
私は、任意のkについてkを法とする線形方程式を解く複雑性に興味があります（そして、素数に特別な関心があります）、特に： 問題。 kを法とするn個の未知数におけるm個の線形方程式の与えられたシステムに対して、解は存在しますか？mmmnnnkkk その紙に抽象的には、logspace-MODクラスの構造と重要性クラスのモッズのk L、彼らは"という、Buntrock、ダム、Hertrampf、およびMeinel請求有限リング上で線形代数のすべての標準的な問題ことを証明することにより、その重要性を実証しは、これらのクラスに対して完全ですZ / k ZZ/kZ\mathbb Z/k\mathbb Z。よく見ると、話はもっと複雑です。たとえば、Buntrock et al。（Kavehが発見した以前の自由にアクセス可能なドラフトの校正で、ありがとう！）線形方程式の解法は代わりに補クラスcoMod k Lにあることを示すkプライム。このクラスは、に等しいことないことが知られていないのModのk個のLのためのk個の線型方程式系を解くかのmodについて私が心配ですが、彼らがどんな発言をしないという事実である-ことを気にコンポジット、決してkがさえている含まれています中coModのk個のLのためのk個の複合！ 質問： すべての正のkについて、coMod k Lに 含まれるkを法とする線形方程式系を解きますか？ あなたは、方程式のシステムを解くことができれば、より高い電力を法Qプライムのpは、あなたは彼らがモジュロ解決することができますpは同様。qを法とする連立方程式を解くのはcoMod p L -hardです。この問題がMod q Lにあることを示すことができれば、すべてのk に対して Mod k L = coMod k Lを示すことになります。それを証明するのは難しいでしょう。しかし、それは coMod k Lですか？
2
最小内積クエリのデータ構造
検討Rを NRn\mathbb{R}^n標準内積を備えとベクトルが：。次の形式のクエリを許可するデータ構造を構築したい：given output。些細なO（nm）クエリ時間を超えることは可能ですか？たとえば、n = 2の場合、O（\ log ^ 2 m）をすぐに取得できます。⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \ranglemmv1,v2,…,vmv_1, v_2, \ldots, v_mx∈Rnx \in \mathbb{R}^n分I ⟨ X 、V 、I ⟩ O （N M ）、N = 2 O （ログ2メートル）mini⟨x,vi⟩\min_i \langle x, v_i \rangleO(nm)O(nm)n=2n = 2O(log2m)O(\log^2 m) 私が思いつくことができる唯一のものは次のとおりです。ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題の直接の結果であり、すべてのε > 0ε>0\varepsilon > 0および\ mathbb {R} ^ n上の分布DD\mathcal{D}に対して、線形マッピングf \ colon \ mathbb …
4
一連の行列のすべての積が最終的にゼロに等しいかどうかを確認する
私は次の問題に興味があります：整数行列がこれらの行列のすべての無限積が最終的にゼロ行列に等しいかどうかを決定します。A1,A2,…,AkA1,A2,…,AkA_1,A_2, \ldots, A_k これは、あなたが思うことを正確に意味します：行列のセットは、無限のシーケンスが存在しない場合、すべての積が最終的にゼロに等しいという特性があります、すべて、すべてのに対してとなります。i 1、i 2、i 3 … { 1 、… 、k } A i 1 A i 2 ⋯ A i l ≠ 0 l{A1,…,Ak}{A1,…,Ak}\{A_1, \ldots, A_k\}i1,i2,i3…i1,i2,i3…i_1, i_2, i_3\ldots{1,…,k}{1,…,k}\{1, \ldots, k\}Ai1Ai2⋯Ail≠0Ai1Ai2⋯Ail≠0 A_{i_1} A_{i_2} \cdots A_{i_l} \neq 0lll すべての製品が最終的にゼロに等しいかどうかを決定する問題は、以前に研究されましたか？それは決定可能ですか？ マトリックスの死亡率に関連する可能性があるようです。これは決定できませんが、明確な関係は見当たりません。
弊社のサイトを使用することにより、あなたは弊社のクッキーポリシーおよびプライバシーポリシーを読み、理解したものとみなされます。
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.