行列の乗算が

一般に、$\epsilon > 0$すべてについて、O （n 2 + ϵ）時間で2つの$n \times n$行列を乗算することが可能であると考えられています。議論はここにあります。$O(n^{2 + \epsilon})$

私は、研究に精通している人々に、nに依存しない$k>0$があり、行列乗算のO （n 2 log k n ）アルゴリズムが存在し、圧倒的に直感的であると思われるかどうかを尋ねました答えは「いいえ」ですが、理由を説明できませんでした。つまり、O （n 2.001）時間でできるが、O （n 2 log 100 n ）時間ではできないと彼らは信じています。$n$$O(n^2 \log^k n)$$O(n^{2.001})$$O(n^2 \log^{100} n)$

固定k > 0で$O(n^2 \log^k n)$アルゴリズムがないと信じる理由は何ですか？$k>0$

N 2ポリログ（N ）算術演算で、$N \times N^{0.172}$行列と$N^{0.172} \times N$行列を乗算するアルゴリズムがあります。それのために使用される主なアイデンティティは、銅細工の紙「の矩形行列の迅速な乗算」から来ているが、それはにつながる理由の説明N 2 polylog （N ）の代わりに、N 2 + εは、ウィリアムズの付録にある紙、「新しいアルゴリズムおよび線形しきい値ゲートを持つ回路の下限」。$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$$N^2 \operatorname{polylog}\left(N\right)$$N^{2 + \epsilon}$

これは、CoppersmithのIDに利用できる追加の構造があり、最近のMMアルゴリズムにはこの構造がないように見えるためです。そうは言っても、なぜこのアプローチを$N \times N \times N$行列乗算に拡張することを期待できないのかはわかりません。

$A_\epsilon$$O(n^{2+\epsilon})$$O(n^2 poly(\log n))$

$O(n^2 poly(\log n))$

Josh AlmanがMMのいくつかのクールな下限結果を示し、CCC 2019最優秀学生論文賞を受賞しました！ http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2019/10834/pdf/LIPIcs-CCC-2019-12.pdf