タグ付けされた質問 「matrix-product」

行列乗算の最適な指数であるは実際には2に等しいと広く推測されています。私の質問は簡単です：ωω\omega と信じる理由は何ですか？ω=2ω=2\omega = 2 Coppersmith-Winogradのような高速アルゴリズムは知っていますが、これらが証拠と見なされる理由はわかりません。ω=2ω=2\omega = 2 素朴に、それは、結果が純粋に審美的な理由で真実であることをコミュニティが望んでいる古典的な例のように思えます。それが本質的にここにあるかどうか知りたいです。

59 ds.algorithms  linear-algebra  matrix-product 

一般に、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0すべてについて、O （n 2 + ϵ）時間で2つのn×nn×nn \times n行列を乗算することが可能であると考えられています。議論はここにあります。O(n2+ϵ)O(n2+ϵ)O(n^{2 + \epsilon}) 私は、研究に精通している人々に、nに依存しないk>0k>0k>0があり、行列乗算のO （n 2 log k n ）アルゴリズムが存在し、圧倒的に直感的であると思われるかどうかを尋ねました答えは「いいえ」ですが、理由を説明できませんでした。つまり、O （n 2.001）時間でできるが、O （n 2 log 100 n ）時間ではできないと彼らは信じています。nnnO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)O(n2.001)O(n2.001)O(n^{2.001})O(n2log100n)O(n2log100⁡n)O(n^2 \log^{100} n) 固定k > 0でO(n2logkn)O(n2logk⁡n)O(n^2 \log^k n)アルゴリズムがないと信じる理由は何ですか？k>0k>0k>0

39 cc.complexity-theory  linear-algebra  big-picture  matrices  matrix-product 

これは知られているようには見えませんが、量子コンピューティングモデルの行列乗算の複雑さに興味深い下限はありますか？量子コンピューターを使用してCoppersmith-Winogradアルゴリズムの複雑さに打ち勝つことができるという直感はありますか？

30 reference-request  quantum-computing  matrix-product 

1979年、Freivaldsは、任意のフィールドでの行列積の検証がランダム化された時間で行えることを示しました。より正式には、フィールドFからのエントリを持つ3つの行列A、B、およびCが与えられた場合、AB = Cがランダム化されたO （n 2）時間アルゴリズムを持つかどうかをチェックする問題。O （n2）O(n2)O(n^2)O （n2）O(n2)O(n^2) 行列を乗算するための最速の既知のアルゴリズムはこれよりも遅いため、これは興味深いです。したがって、AB = CであるかどうかのチェックはCの計算よりも速いです。 行列積の検証がまだ時間（ランダム化）アルゴリズムを持っている最も一般的な代数構造は何かを知りたいです。元のアルゴリズムはすべてのフィールドで機能するため、すべての積分ドメインでも機能すると思います。O （n2）O(n2)O(n^2) この質問に対する最良の答えは、「パス、マトリックス、および三角形の問題間のサブキュービック等価性」で、「リング上のマトリックス製品検証はランダム化時間[BK95]で実行できます」でした。（[BK95]：M. BlumおよびS. Kannan。 彼らの仕事をチェックするプログラムの設計。J。ACM、42（1）：269–291、1995.）O （n2）O(n2)O(n^2) まず、リングは、この問題がランダム化アルゴリズムを持つ最も一般的な構造ですか？第二に、[BK95]の結果がすべてのリングでO （n 2）時間アルゴリズムをどのように示すかを見ることができませんでした。誰かがその仕組みを説明できますか？O （n2）O(n2)O(n^2)O （n2）O(n2)O(n^2)

18 ds.algorithms  linear-algebra  matrix-product 

Strassenアルゴリズムでは、2つの行列とBの積を計算するために、行列AとBは2 × 2ブロック行列に分割され、アルゴリズムは単純な8ブロック行列ではなく、7ブロック行列-行列積を再帰的に計算します。行列積、すなわち、我々は場合はC = A B、 A = [ 1 、1 A 1 、2 A 2 、1 A 2 、2AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}2 × 22×22 \times 2777888C = A BC=AB\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B} 次に、我々は C 1 、1 = A 1 、1件のB 1 、1 + A 1A = [ A1 、1A2 、1A1 、2A2 、2] 、 B …

17 ds.algorithms  linear-algebra  matrices  matrix-product 

n個のブール変数x_1、...、x_nのセットとm個の関数y_1 ... y_mのセットが与えられ、各y_iがこれらの変数の（与えられた）サブセットのXORであると仮定します。目標は、これらすべてのy_1 ... y_m関数を計算するために実行する必要があるXOR操作の最小数を計算することです。 XOR演算の結果、たとえばx_1 XOR x_2は複数のy_jの計算に使用される可能性がありますが、1つとしてカウントされることに注意してください。また、y_iをより効率的に計算するために、x_iの非常に大きなコレクション（すべてのx_iのXORを計算するなど、y_i関数よりも大きい）のXORを計算すると便利な場合があることに注意してください。 同様に、バイナリ行列AとベクトルXを持ち、目標がAX = YであるベクトルYを計算することであり、ここですべての操作が最小数の操作を使用してGF（2）で実行されると仮定します。 Aの各行が正確にk個（たとえばk = 3）の場合でも興味深いです。この質問の複雑さ（近似の難しさ）を知っている人はいますか？ モハンマド・サラヴァティプール

15 circuit-complexity  approximation-hardness  approximation  matrix-product 

長方形行列の行列乗算の計算の複雑さに関する情報を探しています。ウィキペディアは、との乗算の複雑さはO （m n p ）（教科書の乗算）であると述べています。 B ∈ R N × PA∈Rm×nA∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}B∈Rn×pB∈Rn×pB \in \mathbb{R}^{n \times p}O(mnp)O(mnp)O(mnp) 私はケース持ってとnがよりはるかに小さいPを、と私は、リニアよりも良い複雑さを得るために期待していたPへの依存することを犠牲に、M及びnは、線形よりも悪いし。mmmnnnppppppmmmnnn 何か案は？ ありがとう。 注：私がそれを可能にしたい理由は、m = n = pの場合（行列がすべて正方形の場合）立方依存性が少ないというよく知られた結果のためです。pppm=n=pm=n=pm=n=p

14 cc.complexity-theory  time-complexity  linear-algebra  matrix-product 

Cohn、Kleinberg、Szegedy、Umansは、独創的な論文である行列乗算のグループ理論アルゴリズムで、一意に解決可能なパズル（以下で定義）とUSP容量の概念を紹介しています。彼らは、銅細工とウィノグラードは、自分の画期的な論文でいると主張等差数列を経由して行列の乗算、「暗黙のうちに」USP容量があることを証明3/22/33/22/33/2^{2/3}。この主張は他のいくつかの場所（ここではcstheoryを含む）で繰り返されていますが、説明はどこにもありません。以下は、CoppersmithとWinogradが証明していること、そしてなぜそれが十分ではないかについての私自身の理解です。 それは、USP能力があることは事実である3/22/33/22/33/2^{2/3}？もしそうなら、証拠の参照はありますか？ ユニークに解けるパズル 長さの一意に解けるパズル（USP）nnn及び幅kkkのサブセットから成る{1,2,3}k{1,2,3}k\{1,2,3\}^kサイズのnnn、我々は、三点の集合として考える、nnn「個」は（場所に対応ベクトルは111、場所は222、場所は333）であり、次の特性を満たします。すべての111個をnnn行に配置するとします。次に、他のピースを各行に1つずつ配置して、「適合する」ようにするユニークな方法が必要です。 ましょN(k)N(k)N(k)幅のUSPの最大の長さkkk。USP容量がある κ=supkN(k)1/k.κ=supkN(k)1/k. \kappa = \sup_k N(k)^{1/k}. USPでは、片のそれぞれが一意である必要がある-ない2行は、シンボル含まないことをその手段c∈{1,2,3}c∈{1,2,3}c \in \{1,2,3\}正確に同じ場所です。これは、（短い引数の後） などκ≤3/22/3N(k)≤∑a+b+c=kmin{(ka),(kb),(kc)}≤(k+22)(kk/3),N(k)≤∑a+b+c=kmin{(ka),(kb),(kc)}≤(k+22)(kk/3), N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3}, κ≤3/22/3κ≤3/22/3\kappa \leq 3/2^{2/3}。 例（長さおよび幅 USP ）： 長さおよび幅例ではなく、および -ピースは2つの異なる方法で配置できます： 4 1111 2131 1213 2233 3 3 2 3 12344444411112131121322331111213112132233\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ …

13 ds.algorithms  co.combinatorics  algebraic-complexity  matrix-product 

私は行列の乗算、だから私の最初の訪問について、探していたウィキ行列の乗算アルゴリズム、私が使用して請求論文の参考資料の中にアルゴリズムを、私は記事を読みに行くのだが、それは複雑だと意志読むには時間がかかりすぎますが、この記事を読んだり、このアルゴリズムを知っている人がいる場合、これは本当ですか？少し説明するために、この基本的なアイデアについて知っていますか。O （n2L O G（n ））O（n2log（n））O(n^2 log(n)) 事前に感謝します。少し一般的な質問であることは知っていますが、適切なアプローチであることがわかった場合は、詳細を学習します。

13 ds.algorithms  linear-algebra  matrix-product 

したがって、辺の長さが数十個の非常にまばらな正方ブール行列が約100から200個あり、それらの積を計算する必要があります。連続してそれらを乗算すると、通常、各ステップで製品がまばらにとどまることがわかります。 この場合に特に高速に動作するマトリックスチェーン製品アルゴリズムはありますか？ より高いレベルでは、問題は、ほとんどの要素が0〜3にしかマッピングされない、かなり小さいグラフ（NFAの遷移関数）で一連の1対多マッピングの構成を計算することです。 （すべてのマトリックスは同じサイズであり、最適な括弧付けを選択する必要がないため、これは通常の「マトリックスチェーン積」問題ではないことに注意してください）

13 ds.algorithms  automata-theory  matrix-product  sparse-matrix 

2つの非常にまばらなブール行列を乗算するための最も実際的に効率的なアルゴリズムは何ですか（たとえば、N = 200で、100-200の非ゼロ要素がいくつかあります）。 実際、AにBを掛けると、Bが事前定義され、それらに対して任意の複雑な前処理を行うことができるという利点があります。また、製品の結果は常に元の行列と同じくらいまばらであることも知っています。 「かなり単純な」アルゴリズム（行ごとにAをスキャン、A行の各1ビット、または結果とBの対応する行）は、非常に効率的であり、単一の製品を計算するのに数千のCPU命令しか必要ありません。 、それを超えるのは簡単ではなく、一定の係数を超えるだけです（結果には数百の1ビットがあるため）。しかし、私は希望を失い、コミュニティに助けを求めているわけではありません:)

12 ds.algorithms  matrix-product  sparse-matrix  boolean-matrix  implementation 

行列式と行列式のアルゴリズムの複雑さと回路の複雑さとの関係を理解し​​ようとしています。 の行列ことが知られているマトリックスがすることができる計算に時間、任意の二つの乗算に必要な最小時間で行列。行列式の最適な回路の複雑さは、深さで多項式であり、深さ3で指数関数的であることも知られてい。n × nn×nn\times nM（n個）のn×n個O〜（M（n ））O~(M(n))\tilde{O}(M(n))M（n ）M(n)M(n)n × nn×nn\times nO （ログ2（n ））O(log2⁡(n))O(\log^{2}(n)) アルゴリズムの観点から行列式の計算は行列の乗算に似ていることがわかっているのに、行列式と行列の乗算の回路の複雑さに違いがあるのはなぜですか？具体的には、なぜ回路の複雑さが深さで指数関数的なギャップを持っているのでしょうか？333 おそらく、説明は簡単ですが、私にはわかりません。「厳密」の説明はありますか？ また見てください：行列式の最小の既知の式

11 algebraic-complexity  arithmetic-circuits  matrix-product  determinant 

古いCStheory.seの投稿を閲覧しているときに、マトリックスの死亡率の問題に関する興味深いブログ投稿を見つけました。私が問題を誤って解釈していない限り、各マトリックス値の整数エントリを持つ3 x 3マトリックスの有限コレクションが与えられた場合、すべてのゼロで構成されるマトリックスに等しいこれらのマトリックスの有限積が存在するかどうかを決定する必要があります。 驚くべきことに、この問題はPostの対応問題からの削減により決定不可能です。私の質問は次のとおりです。問題の決定不能性と、チューリングマシンにリンクされている問題へのリンクを考えると、すべてのre言語、クラスP、およびクラスNPを特徴付ける方法が存在することを示すことができますか（例）行列を使用していますか？ 私はこれについて少し作業をしましたが、私の信念が正しいかどうかを確認するためのトレーニングが不足しています。この問題を解決するには、読者側で少し作業が必要だと思います。 LaTeXを使用してSEで行列を書き込む方法はわかりませんが、NPを特徴付ける最初の試みは次のとおりです。 整数のエントリと整数を持つ3 x 3行列の有限集合がNPの「クエリ」として与えられた場合、追加の行列「構造」と見なします。ゼロのみで構成される行列に等しいからの行列の積が存在する場合、「クエリ」は「構造」を受け入れます。SSSkkkMMM| M|k+ k|M|k+k|M|^k + kSSS ご覧のとおり、この試みは完全ではなく、証拠も含まれていますが、問題について最初に考えて、マトリックスの複雑さの概念を形式化するためのより洗練された試みができるかどうかを確認したいと思います。Faginによる記述の複雑さを使用したNPの特徴付けと同様に、これはマシンに依存しない方法でNPを特徴付けるために使用できるため、これは興味深いものです。

8 cc.complexity-theory  matrix-product 

LET 、B iは、の配列で巡回行列サイズのN × N。あ私AiA_{i}B私BiB_{i}n×nn×nn \times n は2次時間で計算できることを知っています（FFTを使用して対角行列を対角化して追加し、IFFTを適用します）。∑ni=1AiBi∑i=1nAiBi\sum_{i=1}^{n}A_{i}B_{i} 仮に（LET、簡略化のために任意の対角行列であり、RがであるN一体乗根未満全て異なる力として対角要素検討NのRが）。DDDrrrnnnnnnrrr の複雑さは何ですか？各項に同じ対角行列（O （n ）項）を含めているので、それは2次式であると思います。∑ni=1AiDBi∑i=1nAiDBi\sum_{i=1}^{n}A_{i}DB_{i}O(n)O(n)O(n) 検討巡回行列のサイズがN × N個より少ない異なるパワーからなる第1の行とn個のR。ましょXはIとY 私のために私は= 1 → nはフルランク対角行列も。RRRn×nn×nn \times nnnnrrrXiXiX_{i}YiYiY_{i}i=1→ni=1→ni=1\rightarrow n の複雑さは何ですか？繰り返しますが、これは二次式であると思います。∑ni=1XiRYi∑i=1nXiRYi\sum_{i=1}^{n}X_{i}RY_{i} rに関して定義される行列とRは人工的なものです。一般的な対角線Dと一般的なフルランクの循環Rの場合を探しています。DDDRRRrrrDDD RRR

8 ds.algorithms  matrix-product