行列乗算の計算の複雑さ

長方形行列の行列乗算の計算の複雑さに関する情報を探しています。ウィキペディアは、との乗算の複雑さはO （m n p ）（教科書の乗算）であると述べています。 B ∈ R N × $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$$B \in \mathbb{R}^{n \times p}$$O(mnp)$

私はケース持ってとnがよりはるかに小さいPを、と私は、リニアよりも良い複雑さを得るために期待していたPへの依存することを犠牲に、M及びnは、線形よりも悪いし。$m$$n$$p$$p$$m$$n$

何か案は？

ありがとう。

注：私がそれを可能にしたい理由は、m = n = pの場合（行列がすべて正方形の場合）立方依存性が少ないというよく知られた結果のためです。$p$$m=n=p$

いくつかのためという銅細工ショーのクラシック作品、1を掛けることができ、N × N αで行列をn個のα × n個で行列$\alpha > 0$$n \times n^\alpha$$n^\alpha \times n$算術演算を。これは、ライアン・ウィリアムズの最近の有名な結果の重要な要素です。$\tilde{O}(n^2)$

Françoisle Gallは最近、Coppersmithの研究を改良し、彼の論文はFOCS 2012に受け入れられました。この研究を理解するには、代数的複雑性理論の知識が必要です。Virginia Williamsの論文には、関連するポインターがいくつか含まれています。特に、Coppersmithの研究は、代数的複雑性理論、本に完全に記述されています。

さまざまな作業が、行列の乗算にほぼ集中しています。MagenとZouziasによるこの作業を確認できます。これは、行列とN $n \times N$行列、 N » nと。$N \times n$$N \gg n$

基本的なアプローチは、マトリックスをサンプリングし（これはランダム化された次元削減に対応します）、はるかに小さいサンプリングされたマトリックスを乗算します。秘Theは、いつどのような意味でこれが適切な近似を提供するかを見つけることです。完全に非現実的な以前の一連の作業とは対照的に、サンプリングアルゴリズムは実用的であり、大量のデータを処理するためにも必要です。