前処理が可能な高速スパースブール行列積

2つの非常にまばらなブール行列を乗算するための最も実際的に効率的なアルゴリズムは何ですか（たとえば、N = 200で、100-200の非ゼロ要素がいくつかあります）。

実際、AにBを掛けると、Bが事前定義され、それらに対して任意の複雑な前処理を行うことができるという利点があります。また、製品の結果は常に元の行列と同じくらいまばらであることも知っています。

「かなり単純な」アルゴリズム（行ごとにAをスキャン、A行の各1ビット、または結果とBの対応する行）は、非常に効率的であり、単一の製品を計算するのに数千のCPU命令しか必要ありません。 、それを超えるのは簡単ではなく、一定の係数を超えるだけです（結果には数百の1ビットがあるため）。しかし、私は希望を失い、コミュニティに助けを求めているわけではありません:)

私はこれらの線に沿って知っている唯一の理論的な結果が論文に私の名前を持っているので、私はこれに答えることを渋っていました...

理論的には、稠密を前処理することが可能であるブール行列Aとそのスパース行列-ベクトル乗算のでA（の半環上OR及びAND）高速ナイーブ走行時間より行うことができます。それを実際に実装するにはかなりの量のハッキングが必要になるでしょうが、十分に大きいnと適切な実装であれば、実際にはうまくいくと思います。$n \times n$$A$$A$$n$

（注：このアルゴリズムは、一方の行列が密でもう一方が疎の場合にのみ非常に役立ちます。ただし、この場合は多く発生します。たとえば、疎グラフの推移閉包を計算する場合、推移閉包行列は最終的に密になる元の隣接行列と比較します。）

論文は

Guy E. Blelloch、Virginia Vassilevska、Ryan Williams：スパースグラフ問題の新しい組み合わせアプローチ。ICALP（1）2008：108-120

そして紙から関連する結果は、すべてのそれであるが存在するO （N 2 + ε）任意の、ある時間アルゴリズムN × N 0-1行列Aは、次の動作がサポートされています。$\varepsilon > 0$$O(n^{2+\varepsilon})$$n \times n$$A$

-任意のベクトルについてはのみとのT nonzeroes、Vは、で計算することができるO （N （T / K + N / ℓ ）/ログN ）時間、ℓ、k個の自由パラメータが満足されている（$v$$t$$A v$$O(n(t/k + n/\ell)/\log n)$$\ell$$k$。（1つの良い設定はℓ=logcnおよびk=ε（logn）/loglognであるため、任意の定数cの実行時間は約nt/logn+n2/logcnです。${\ell \choose k} \leq n^{\varepsilon}$$\ell=\log^c n$$k=\varepsilon(\log n)/\log \log n$$nt/\log n + n^2/\log^c n$$c$

行と列の更新は、O （n 1 + ε）時間で計算できます。$A$$O(n^{1+\varepsilon})$

このデータ構造を使用して、スパースな重みのないグラフでAPSPのより高速な理論的アルゴリズムを提供しました。

あなたが呼ぶものは「ハイパースパース」行列（nnz <n）だと思います。私は数年前にそれらを増やす方法について論文を書きました。基本的には、中間トリプルの実現を排除するための巧妙なマルチウェイマージとの外部製品結合です。

BulucおよびGilbert、IPDPS 2008：http ://gauss.cs.ucsb.edu/publication/hypersparse-ipdps08.pdf