行列式と行列乗算-アルゴリズムの複雑さと算術回路サイズの類似点と相違点

行列式と行列式のアルゴリズムの複雑さと回路の複雑さとの関係を理解しようとしています。

の行列ことが知られているマトリックスがすることができる計算に時間、任意の二つの乗算に必要な最小時間で行列。行列式の最適な回路の複雑さは、深さで多項式であり、深さ3で指数関数的であることも知られてい。 $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$

アルゴリズムの観点から行列式の計算は行列の乗算に似ていることがわかっているのに、行列式と行列の乗算の回路の複雑さに違いがあるのはなぜですか？具体的には、なぜ回路の複雑さが深さで指数関数的なギャップを持っているのでしょうか？ $3$

おそらく、説明は簡単ですが、私にはわかりません。「厳密」の説明はありますか？

また見てください：行列式の最小の既知の式

— T ....
ソース

回答:

さまざまな小さな複雑度のクラスの回路値の問題とブール式の評価を検討してください。それらの確定的な連続時間の複雑さは、私たちが知る限り似ていますが、回路の複雑さの観点からは非常に異なっています。1つのモデル上の特定のタイプのリソースの類似性は、他のモデルの他のリソースの類似性を意味するものではありません。問題の1つは、1つの並列計算を利用できる一方で、別の並列計算を行うことはできませんが、連続する時間の複雑さは同じになる可能性があることです。

モデルと異なるリソースにまたがる2つの問題の複雑さの間に、より強固な関係が期待できるのはいつですか？それらが両方向で堅牢な削減である場合、それらのモデルのリソースを尊重します。

編集：乗算には、指数以下のサイズの深さ3の回路があります。そのような種類の下限を行列式に証明すると、それがないことが、から分離されますが、これは不明です。 $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

— カベ
ソース

「乗算には、指数以下の深さ3の回路があります。」乗算では、個の変数を引き出してそれらをある順序で乗算し、中間生成物を加算するだけなので、任意の深さで回路サイズを持っていると思います。

O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

— T ....

2つの整数の乗算は完了しているため、はありません。

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— カヴェー

私は今のところ連続的な複雑さだけを見ています。

— T ....

あなたのコメントに従うかどうかわかりません。私の投稿はブール設定の質問に答えていると思います（質問にはもともとIIRCの算術回路は言及されていませんでした）。算術回路の設定についてはあまり知りませんが、他の人が質問に答えてくれることを願っています。

— カヴェー

算術設定のギャップから、行列の乗算は本質的に行列式よりもはるかに並列的なタスクであることがわかります。言い換えれば、両方の問題の連続的な複雑さは密接に関連していますが、それらの並行する複雑さは互いにそれほど近くありません。

関連する論文は、Csankyによる高速並列行列反転アルゴリズムで、行列の行列式を計算する算術複雑度行列式を計算する算術回路の深さ）が私の知る限り、これらはこの問題の最もよく知られた境界です。これは、式で与えられる、行列乗算を計算する単純な深さ演算回路と比較する必要があります。 $D(n)$ $n\times n$

O (\log n) \leq D (n) \leq O (\log^{2} n) .

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

— ブルーノ
ソース

これが「なぜ回路の複雑性が深さ3で指数関数的なギャップを持っているのか」に対する答えであるかどうかはわかりませんが、少なくともこの事実の証明はCsankyの論文です。

— ブルーノ

私が正しく理解していれば、あなたはほのめかしている：プロセッサの多項式数を得るためには、対数の深さが必要ですか？

— T ....

Csankyが使用した正確なモデルを覚えていませんでした。実際、彼は、私たちが今日、境界のあるファンインを備えた算術回路と呼ぶものを検討しています。したがって、下限は非常に簡単であり、行列乗算との私の比較は関係ありません。

— ブルーノ