XORゲートを使用した最小の回路サイズ

n個のブール変数x_1、...、x_nのセットとm個の関数y_1 ... y_mのセットが与えられ、各y_iがこれらの変数の（与えられた）サブセットのXORであると仮定します。目標は、これらすべてのy_1 ... y_m関数を計算するために実行する必要があるXOR操作の最小数を計算することです。

XOR演算の結果、たとえばx_1 XOR x_2は複数のy_jの計算に使用される可能性がありますが、1つとしてカウントされることに注意してください。また、y_iをより効率的に計算するために、x_iの非常に大きなコレクション（すべてのx_iのXORを計算するなど、y_i関数よりも大きい）のXORを計算すると便利な場合があることに注意してください。

同様に、バイナリ行列AとベクトルXを持ち、目標がAX = YであるベクトルYを計算することであり、ここですべての操作が最小数の操作を使用してGF（2）で実行されると仮定します。

Aの各行が正確にk個（たとえばk = 3）の場合でも興味深いです。この質問の複雑さ（近似の難しさ）を知っている人はいますか？

モハンマド・サラヴァティプール

これはNPハードです。参照：ジョアン・ボヤール、フィリップ・マシューズ、ルネ・ペラルタ。暗号化への応用を伴う論理最小化手法。http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

削減はVertex Coverによるもので、非常に優れています。

グラフがm = | E | 定義Mを× （N + 1 ）行列A：としてA [ I 、J ] = 1なら、J < N + 1と（I 、J ）∈ E、およびA [ I 、$(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$。つまり、 n + 1個の変数 x 1が与えられた場合$A[i,n+1] = 1$$n+1$、我々が計算したいメートルをフォームが線形 xはI + X jの + X N + 1のすべてについて（I 、J ）∈ E。$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

少し考えてみると、ファンイン2のゲートを備えた XOR回路があり、m + kゲートのみの線形変換Aを計算します。ここで、kはグラフの最適な頂点カバーです。（まず、k個の操作を使用して、頂点カバー内のすべてのi 'についてx i ' + x n + 1を計算します。線形形式は、さらにm回の操作ですべて計算可能です。）これも最小サイズの回路です。$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$$k$$m$

削減が正しいという証拠はあまり良くありません。この削減が正しいことの簡単な証拠を見たいです。