独自に解けるパズル（USP）の容量

Cohn、Kleinberg、Szegedy、Umansは、独創的な論文である行列乗算のグループ理論アルゴリズムで、一意に解決可能なパズル（以下で定義）とUSP容量の概念を紹介しています。彼らは、銅細工とウィノグラードは、自分の画期的な論文でいると主張等差数列を経由して行列の乗算、「暗黙のうちに」USP容量があることを証明 $3/2^{2/3}$ 。この主張は他のいくつかの場所（ここではcstheoryを含む）で繰り返されていますが、説明はどこにもありません。以下は、CoppersmithとWinogradが証明していること、そしてなぜそれが十分ではないかについての私自身の理解です。

それは、USP能力があることは事実である $3/2^{2/3}$ ？もしそうなら、証拠の参照はありますか？

ユニークに解けるパズル

長さの一意に解けるパズル（USP） $n$ 及び幅 $k$ のサブセットから成る $\{1,2,3\}^k$ サイズの $n$ 、我々は、三点の集合として考える、 $n$ 「個」は（場所に対応ベクトルは $1$ 、場所は $2$ 、場所は $3$ ）であり、次の特性を満たします。すべての $1$ 個を $n$ 行に配置するとします。次に、他のピースを各行に1つずつ配置して、「適合する」ようにするユニークな方法が必要です。

ましょ $N(k)$ 幅のUSPの最大の長さ $k$ 。USP容量がある

κ = sup_{k} N (k)^{1 / k} .

$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$ USPでは、片のそれぞれが一意である必要がある-ない2行は、シンボル含まないことをその手段

c \in {1, 2, 3}

$c \in \{1,2,3\}$ 正確に同じ場所です。これは、（短い引数の後）など

N (k) \leq \sum_{a + b + c = k} min {(\binom{k}{a}), (\binom{k}{b}), (\binom{k}{c})} \leq (\binom{k + 2}{2}) (\binom{k}{k / 3}),

$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$

κ \leq 3 / 2^{2 / 3}

$\kappa \leq 3/2^{2/3}$ 。

例（長さおよび幅 USP ）：長さおよび幅例ではなく、および -ピースは2つの異なる方法で配置できます： $4$ $4$

\begin{aligned} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{aligned}

$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$

3

$3$

3

$3$

2

$2$

3

$3$

\begin{aligned} 123 & 132 \\ 231 & 321 \\ 312 & 213 \end{aligned}

$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$

Coppersmith-Winogradパズル

長さと幅のカッパースミス・ウィノグラードパズル（CWP）は、サイズののサブセットで構成され、「ピース」は一意です-任意の2つのおよび、（それらは多少異なって表示されます。） $n$ $k$ $S$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $a \neq b \in S$ $c \in \{1,2,3\}$

{i \in [k] : a_{i} = c} \neq {i \in [k] : b_{i} = c} .

$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$

すべてのUSPはCWPであるため（前述のとおり）、CWPの容量は満たします。上記でとコメントしました。CoppersmithとWinogradは、洗練された引数を使用して、。彼らの議論は、ストラッセンによって簡略化されました（代数的複雑性理論を参照）。以下に簡単な証明をスケッチします。 $\lambda$ $\lambda \geq \kappa$ $\lambda \leq 3/2^{2/3}$ $\lambda = 3/2^{2/3}$

与えられた場合、それぞれ秒、秒、秒のを含むすべてのベクトルで構成されるとします。以下のために、聞かせ全てのペアで構成さよう、そしてます。グラフ独立セットはすべてCWPです。すべてのグラフが独立したサイズのセット持っていることはよく知られています（証明：確率で各頂点を選択し、各生存エッジから1つの頂点を削除します）。私たちの場合には、 $k$ $V$ $k/3$ $1$ $2$ $3$ $c \in \{1,2,3\}$ $E_c$ $a,b \in V$ $\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$ $E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$ $G = (V,E)$ $|V|^2/4|E|$ $|V|/2|E|$

| V | = (\binom{k}{k / 3}) (\binom{2 k / 3}{k / 3}), | E | \leq 3 | E_{1} | = \frac{3}{2} (\binom{k}{k / 3}) {(\binom{2 k / 3}{k / 3})}^{2} .

$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$ したがって、

\frac{| V |^{2}}{4 | E |} = \frac{1}{6} (\binom{k}{k / 3}) ⟹ λ \geq \frac{3}{2^{2 / 3}} .

$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$

— ユヴァル・フィルマス
ソース

興味深いですが、ここに質問がありますか、またはこれは単なる文献の欠陥の主張ですか？

— デビッドエップシュタイン

問題は、USPのキャパシティがであるかどうかであり、その場合、どこで証拠を見つけることができるかです。

3 / 2^{2 / 3}

$3/2^{2/3}$

— ユヴァルフィルム

他の多くの質問と同様に、この質問に対する答えはStothersの論文にあります。ローカルUSPは、1ピース、2ピース、および3ピースが結合できる唯一の方法は、それらの結合が場合のみであるCWP です。明らかに、ローカルUSPはUSPであり、[CKSU]の構造は、USPキャパシティがローカルUSPによって達成されることを示しています（建設的に示します）。 $S$

CoppersmithとWinograd は、次の2つのプロパティを持つでほぼ2方向の独立分布を構築します。（1）、（2）いずれかのためにの1ピースように、2ピースとの3ピース一緒になってベクトルを形成：もし次いで。 $S$ $2^V$ $\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$ $x,y,z \in V$ $x$ $y$ $z$ $w \in V$ $x,y,z \in S$ $w \in S$

$S$ $V$ $(x,y) \in E$ $x,y$ $(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$ $T$ $x,y,z \in T$ $x$ $y$ $z$ $w$ $x,y,z,w \in S$ $x,y,z$ $S$

— ユヴァル・フィルマス
ソース