量子行列乗算？

これは知られているようには見えませんが、量子コンピューティングモデルの行列乗算の複雑さに興味深い下限はありますか？量子コンピューターを使用してCoppersmith-Winogradアルゴリズムの複雑さに打ち勝つことができるという直感はありますか？

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— ヘンリー・ユエン
ソース

回答:

arXivの：定量-PH / 0409035v2 BuhrmanとSpalek出力行列は、いくつかの非ゼロエントリを有する場合には銅細工、ウィノグラードアルゴリズムを破っ量子アルゴリズムを提示します。

更新：DörnとThieraufによる量子アルゴリズムもわずかに改善されています。

更新：Le Gallが BurhmanとSpalekを全般的に破って改善された量子アルゴリズムがあります。

— マーティン・シュワルツ
ソース

これは私にとって初めてのことでした（量子結果についてはほとんど知りません）が、論文を見ると、結果はさらに驚くべきものでした！以下のために、場合行列乗算がある出力に非ゼロエントリ、製品は、計算することができるサブ次、時間。

A_{n x m} B_{m x n} = C_{n x n}

$A_{nxm}B_{mxn}=C_{nxn}$

o (\sqrt{n})

$o(\sqrt{n})$

o (n m)

$o(nm)$

— ダニエルアポン

ブール行列積の特別な場合、min { }の場合、これにわずかな改善があります。ある出力のnonzeroesが。（FOCS'10論文「Subcubic Equivalences Between Path、Matrix、and Triangle

n^{1.3} w^{17 / 30}, n^{2} + w^{47 / 60} n^{13 / 15}

$n^{1.3}w^{17/30}, n^2 + w^{47/60} n^{13/15}$

w

$w$

— Problem

ブール行列積の場合の最近の改善点はarxiv.org/abs/1112.5855で、下限も一致しています。

n w^{1 / 2}

$nw^{1/2}$

— アベル・モリーナ

2つの行列を乗算して完全な古典的な結果を取得することに興味がある場合、Martinの応答はおそらくあなたの質問に対する決定的な答えです。ただし、ようなものを計算する場合は、これを非常に効率的に実行できます。Harrow、Hassidim、およびLloydには、を計算するためのアルゴリズム（arXiv：0811.3171）がありますこれは、スパース行列の行列次元でのみ対数です。このアプローチを適用して、逆数ではなく積を計算することは比較的簡単です。 $v^\dagger X Y v$ $v X^{-1} v$ $X$

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

この場合、ランタイムはマトリックスの条件番号に依存し、マトリックスには複雑なエントリが必要になります。また、XとYがスパースである場合、その積もそうであり、は、ランダムサンプリングを使用して、同じ種類の指数関数的な高速化で古典的に推定できます。

v^{'} X Y v

$v'XYv$

— アラムハロー

@アラム：いいね！あなたのアルゴリズムがスパース行列で機能することは知っていますが、特定の非スパース行列でも機能するようにできるという印象を受けました。これは正しいです？

— ジョーフィッツシモンズ

はい、これらのハミルトニアンをシミュレートする良い方法を知っているときはいつでも、非スパース行列に対して機能します。そのため、ここで重要なことが可能です。

— アラムハロー

@Aram：使用するエンコーディングでは、QFTを介してすべてのスパース行列のフーリエ変換も取得しませんか？

— ジョーフィッツシモンズ

@ジョー：私はこれに気づいた。はい、これらの行列（運動量ベースでスパースであると考えることができます）も使用できます。これはアルゴリズムに固有のものではありません。むしろ、量子コンピューターでシミュレートする方法を知っているハミルトニアンのクラスについての声明です。

— アラムハロー